====== A3.4 La media di Rosseland ======

<WRAP justify>
L'equazione del gradiente radiativo è stata in precedenza
ricavata sotto l'assunzione di un cammino libero medio comune per
tutti i fotoni o, in altra parole, di una opacità indipendente
dalla frequenza della radiazione //caso grigio//. Discutendo i
meccanismi di opacità si è peraltro già indicato come tale
assunzione sia in generale lungi dall'essere verificata. Per ogni
prefissata frequenza $\nu$ della radiazione potremo definire
$\lambda (\nu)$ come il cammino libero medio dei fotoni con
frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$, una corrispondente
opacità $\kappa (\nu)= 1/\rho \lambda(\nu)$, restando valida per
ogni frequenza la relazione
\\
\\
$$\frac {dP(\nu)}{dr}= {\kappa (\nu) \rho}{c} \Phi(\nu)$$
\\
\\
dove $P(\nu)d\nu$ e $\Phi(\nu)d\nu$ rappresentano il contributo
alla pressione ed al flusso della radiazione portato dai fotoni
con frequenza compresa tra $\nu$ e $\nu + d\nu$. Indicando inoltre
con $E(\nu)$ la densità di energia radiativa nello stesso
intervallo di frequenza, si avrà
\\
\\
$$P(\nu)=\frac {E(\nu)}{3}$$
\\
\\
e sarà possibile porre in relazione il flusso totale con la
densità di energia tramite la relazione
\\
\\
$$\Phi = \int_{0}^{\infty}\Phi (\nu) d\nu = \frac {c}{3\rho} \int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu$$
\\
\\
Per il noto teorema della media potremo definire <tex>$\overline \kappa$</tex>
attraverso la relazione
\\
\\
$$\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu =
\frac {1} {\overline \kappa} \int_{0}^{\infty}  \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu $$
\\
\\
dove $\overline \kappa$ prende il nome di //media di Rosseland//
dell'opacità, ricavando infine
\\
\\
$$\Phi = \frac {c}{3\rho} \frac {1}{\overline \kappa}\frac {dE}{dr}$$
\\
\\
e da $E=aT^4$ si ricava infine una relazione per il gradiente radiativo del tutto analoga a quanto
ricavato nel caso grigio, ma con l'intervento di ${\overline \kappa}$ al posto di ${\kappa}$. Poiché
in equilibrio termodinamico la $E(\nu)= B(\nu,T)$ per la media di
Rosseland si avrà
\\
\\
$$\frac {1}{\overline \kappa} = \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dE(\nu)}{dr} d\nu} =  \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dr} d\nu} =
 \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} \frac {dT}{dr} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)} {dT} \frac {dT}{dr} d\nu} =   \frac {\int_{0}^{\infty} \frac {1}{\kappa (\nu)} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}{\int_{0}^{\infty} \frac {dB(\nu,T)}{dT} d\nu}$$
</WRAP>

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~~DISQUS~~