====== 4.4 Elementi primari ed elementi secondari ====== Chi avesse dimestichezza con le famiglie di elementi radioattivi naturali riconoscerebbe nella catena pp tutta una serie di elementi //"secondari"//, i cui nuclei sono contemporaneamente prodotti e distrutti nella sequenza di reazioni. In tale condizione le abbondanze di questi elementi tendono verso condizioni di equilibrio, ed i nuclei non intervengono più nel determinare la velocità delle reazioni se non in maniera indiretta. Illustreremo tale caratteristica nel caso del deuterio. Per il [[wp.it>deuterio]] si ha infatti una reazione di produzione $(p+p\rightarrow)$ ed una di distruzione $(D+p\rightarrow)$. Poichè per ogni reazione viene creato o distrutto un nucleo di deuterio, il numero di nuclei creati o distrutti nell'unità di volume e nell'unità di tempo sarà dato dalle relazioni \\ \\ $$ Processi \ di \ creazione \rightarrow \frac{dN_2}{dt}=n_{1,2}=\frac{N_1^2}{2}<\sigma_{11}v>$$ \\ \\ $$ Processi \ di \ distruzione \rightarrow \frac{dN_2}{dt}= -n_{12}= -N_1N_2<\sigma_{12}v>$$ \\ \\ dove 1 e 2 fanno riferimento rispettivamente a [[wp.it>protoni]] e [[wp.it>deutoni]]. Ne segue che che il numero di deutoni nell'unità di volume varia col tempo secondo la relazione \\ \\ $$\frac{dN_2}{dt}=n_{11}-n_{12}$$ \\ \\ Qualunque sia l'abbondanza iniziale del deuterio (ma in realtà ce ne attendiamo molto poco) si ricava che l'abbondanza di tale elemento deve evolvere verso la condizione di equilibrio \\ \\ $$n_{11}=n_{12}$$ \\ \\ da cui si trae per le abbondanze di equilibrio \\ \\ $$(\frac{N_2}{N_1})_{eq}=\frac{1}{2} \frac{<\sigma_{11}v>}{<\sigma_{12}v>}$$ \\ \\ E' subito visto infatti che se $N_2>N_1$ allora $\sigma_{12}>\sigma_{11}$, e viceversa, così che le abbondanze evolvono necessariamente verso l'equilibrio. Ricordando che le abbondanze in numero sono legate a quelle in massa dalla relazione $X_i=N_iA_iH/\rho$ per le abbondanze in massa di equilibrio potremo scrivere $(X_2/X_1)_{eq}=<\sigma_{11}v>/<\sigma_{12}v>$ \\ \\ Si può ottenere una scala dei tempi per il raggiungimento dell'equilibrio osservando che, per esempio, se $N_2\gg (N_2)_{eq}$ prevale la reazione di distruzione, per la quale \\ \\ $$\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}=\frac{d}{dt}lnN_2=-N_1<\sigma_{12}v>$$ \\ \\ da cui $N_2=N_2^0 e^{-t/\tau}$ con $\tau=1/(N_1<\sigma_{11}v>)$. Per una miscela ricca di idrogeno e per temperature in cui la fusione pp è efficiente si trova così $(X_2)_{eq}\le 10^{-18}, \tau \le 1$ secondo. Le condizioni di equilibrio sono cioè raggiunte in tempi rapidissimi e senza una apprezzabile variazione della composizione chimica della materia (Figura 4.3). \\ \\ {{:c04:figura04_03.jpg?400}} \\ **Fig. 4.3 ** Il rapporto di equilibrio D/H al variare della temperatura T in milioni di gradi. \\ \\ All'equilibrio ogni reazione p+p è necessariamente seguita da una reazione D+p, talchè si può direttamente assumere che ogni reazione p+p abbia per risultato la scomparsa di tre protoni e la sintesi di un nucleo di $^3He$, la velocità di produzione restando regolata solo dal valore di $n_{11}$. In questo senso il deuterio è elemento secondario, come lo sono anche $^7Be$, $^7Li$, $^8Be$, $^8B$ la cui dettagliata valutazione risulta inessenziale sia ai fini della evoluzione chimica che a quelli della produzione di energia della catena pp, fermo restando che alle restanti reazioni //primarie// occorrerà associare i prodotti in particelle ed i contributi energetici provenienti dalle reazioni secondarie che le seguono. \\ \\ {{:c04:figura_04_04.jpg?600}} \\ **Fig. 4.4 ** La concentrazione all'equilibrio di $^3$He (a sinistra) e il tempo (in anni) per raggiungere l'equilibrio stesso (a destra) in funzione della temperatura in milioni di gradi. \\ \\ Così gli effetti delle due prime reazioni della catena \\ \\ $p+p\rightarrow D+e^++\nu \ (+Q_{11})$ \\ \\ $D+p\rightarrow ^3He+\gamma \ (+Q_{12})$ \\ \\ ove con $Q_{ii}$ indichiamo l'energia rilasciata nella singola reazione eventualmente decurtata della enrgia sotto forma di neutrini,restano compiutamente descritti dalle relazioni \\ \\ $$\frac{dN_1}{dt}=-3 n_{11} \ \frac{dN_3}{dt}= n_{11}$$ \\ \\ $$\frac{dQ}{dt}= n_{11}(Q_{11}+Q_{12})$$ \\ \\ ove le prime due regolano, con ovvio significato dei simboli, la variazione col tempo del numero di particelle per unità di volume e la terza fornisce l'energia prodotta per unità di tempo sempre nell'unità di volume. Da quest'ultima si ricava immediatamente la produzione di energia per grammo e per secondo della //ppI//: \\ \\ $$\varepsilon =\frac{1}{\rho}\frac{dQ}{dt}$$ \\ \\ Resta da notare che alcuni elementi, come nel nostro caso l'$^3He$, possono comportarsi da primari o secondari a seconda della temperatura che regola il valore della sezione d'urto di distruzione. A basse temperature la sezione d'urto $^3He+^3He$ è molto piccola e la composizione d'equilibrio -sempre esistente- è corrispondentemente non solo molto alta ma anche raggiunta in tempi lunghi. L'evoluzione dell'abbondanza di $^3He$ deve quindi essere seguita in dettaglio e l'$^3He$ si comporta come elemento //pseudoprimario//. Al crescere della temperatura aumenta la sezione d'urto di distruzione e l'$^3He$ diviene a tutto rigore un secondario (Fig. 4.4). \\ ---- \\ ~~DISQUS~~