====== A4.2. Il teorema del viriale ======

<WRAP justify>
Si abbia un gas autogravitante, composto cioè da un insieme di N
particelle di massa m<sub>i</sub>, mutamente interagenti attraverso il
loro campo gravitazionale. Per esso si definisce il [[wp.it>momento di inerzia]]
\\
\\
$I = \sum_i m_1(x_i^2+y_i^2+z_i^2)   \ \  i=1,N$
\\
\\
con ovvio significato dei simboli.
Operandone la derivata seconda rispetto al tempo ne risulta
\\
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$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= \sum_i m_i \frac {d}{dt} (x_i
v_{xi}+ y_i v_{yi}+ z_i v_{zi} ) = \sum_i m_i v_{xi}^2 + ... +m_1
x_i a_{xi} + .......$$
\\
\\
dove per brevità sono stati omessi gli
analoghi contributi delle componenti y e z.


E' subito visto che la somma
\\
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$$\sum_i m_i v_{xi}^2 + m_i v_{yi}^2 + m_i v_{zi}^2 = \sum_i m_i
v_i^2 = 2T$$
\\
\\ 
avendo indicato con T l'energia cinetica totale del
sistema, somma delle energie cinetiche delle singole particelle.

Notiamo ora che m$_i$a$_{xi}$ per la 
[[wp.it>Principi_della_dinamica#Secondo_principio_detto_di_proporzionalit.C3.A0_o_di_Newton_o_di_conservazione|legge di Newton]] 
($\overline F
= m \overline a$) è la componente x della forza agente sulla
i-ma particella. Potremo dunque scrivere
\\
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$$ x_i \ m_i a_{xi}= x_i F_{xi} = x_i G \sum_{j \not= i} \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}}$$
\\
\\
Eseguendo le somme, ad ogni termine del tipo
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$$ x_i G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ 
\frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x  \ della \ forza \
operata  \ dalla \ particella \ j \ su \ quella \ i)}$$
\\
\\
corrisponde un termine
\\
\\
$$ x_j G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \
\frac {x_i - x_j}{r_{ij}} \ \ \  {\rm (componente \ x  \ della \ forza \
operata \ dalla \ particella \ i \ su \ quella \ j)}$$
\\
\\
la cui somma fornisce
\\
\\
$$ (x_i-x_j) G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \
\frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ = -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac
{(x_j - x_i)^2}{r_{ij}}$$
\\
\\
Sommando le corrispondenti componenti y e z si ha
\\
\\
$$  -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac
{(x_j - x_i)^2+ (y_j - y_i)^2 + (z_j - z_i)^2 }{r_{ij}}=  -G \frac
{m_i m_j}{r_{ij}}$$
\\
\\
e sommando su tutte le particelle
\\
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$$- \sum_{ij} G \frac
{m_i m_j}{r_{ij}} \ = \ \Omega = {\rm energia \ di  \ legame \
gravitazionale}$$
\\
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Riassumendo, si conclude che
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$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= 2T + \Omega$$
\\
\\
come si voleva dimostrare.
\\
</WRAP>
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~~DISQUS~~