====== A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden. ======

<WRAP justify>
Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione "politropica"
del tipo
\\
\\
$$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/n}$$
\\
\\
le equazioni di equilibrio si riducono a modelli
"politropici", dalle già discusse caratteristiche. Gli indici
che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione
tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di 
//esponente della politropica// $\gamma$ o di //indice della
politropica// (n). Tra le molte possibili origini di un
comportamento politropico ricordiamo:


  - Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3, n= 1.5
  - Gas  isotermo $\gamma$ = 1, n= $\infty$
  - P$_{gas}$ /P$_{tot}$=$\beta$=cost, $\gamma$ = 4/3, n= 3
  - Degenerazione non relativistica $\gamma$ = 5/3, n= 1.5
  - Degenerazione relativistica $\gamma$ = 4/3,  n= 1.5


In tutti i casi, derivando rispetto a r l'eguaglianza
dell'equilibrio idrostatico, e sostituendo dM$_r$/dr tramite la
relazione di  conservazione della massa si ottiene
\\
\\
$$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$
\\
\\
da cui
\\
\\
$$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$
\\
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esprimendo P attraverso la relazione politropica e operando le sostituzioni
\\
\\
$$\rho = \rho_c \theta^n$$
\\
\\
$$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K}
\rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$
\\
\\
si giunge all'equazione di Lane Emden
\\
\\
$$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = -  \theta^n$$
\\
\\
da  integrarsi con le condizioni $\theta$ = 1
e d$\theta$ /d$\xi$ = 0 per $\xi$ =0. L'equazione di Lane
Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche.

Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un
parametro libero cui corrispondono $\infty^1$ strutture
convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è
una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso
si ha quindi una soluzione unica, e ogni $\rho_c$ fissa massa e
raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di
una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal
quale vedremo discendere l'esistenza di una massa limite per nane
bianche e stelle di neutroni.
</WRAP>
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~~DISQUS~~