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A1.1 Termalizzazione. Radiazione di corpo nero. Emissività stellare.

Come mostrato da Max Planck, la radiazione elettromagnetica deve essere considerata come composta da unità elementari (quanti di energia, o fotoni) ad ognuno dei quali risulta associata una energia E = h<nu>, dove:

  • h = costante di Plank = 6.62 10^-27erg
  • <nu> = frequenza della radiazione (cicli/sec)

Un campo di radiazione elettromagnetica (quale è la luce) può quindi essere visto come un gas di fotoni tra loro non interagenti. In presenza di materia a temperatura T, i fotoni interagiscono però con le particelle attraverso tutta una serie di processi che conducono i fotoni verso una situazione energetica di equilibrio, retta dalla legge di distribuzione di Plank
u(nu) = {8 pi h nu^3 / c^3}{1 / {exp{{h nu} / kT} -1}} [1]
ove u(nu)d nu è la densità di energia della radiazione con frequenza tra nu e nu+ d nu, k la costante di Boltzmann

Nel suo aspetto più generale la distribuzione di Plank è una conseguenza delle necessità che discendono dalla meccanica statistica. Un gas di particelle, se le particelle possono scambiarsi energia tramite mutue interazioni, deve evolvere verso una situazione di equilibrio nella quale la velocità delle particelle è retta dalla nota formula di Maxwell-Boltzmann (fig. 1.12): in queste condizioni si può parlare di equilibrio termico e definire una temperatura T del gas così termalizzato.

fig1_11.jpg
Fig. 1.12 La distribuzione Maxwelliana delle velocità U delle particelle di un gas segue la legge <tex> $ {dN/N} = 4 \pi \left({m\over 2 \pi k T}\right)^{3/2} \exp{\left(-m U^2 \over 2 k T \right)} U^2 dU $ </tex>, dove dN è il numero di particelle nell'intervallo di velocità dU, m è la massa delle particelle e T la temperatura del gas.

Analogamente, una radiazione elettromagnetica che possa interagire con un sistema di particelle termalizzato evolve verso la situazione di equilibrio descritta dalla legge di Plank. In tutti e due i casi, il raggiungimento della termalizzazione della materia e della radiazione sarà tanto più rapido quanto più efficienti sono i meccanismi di interazione e scambio energetico materia-materia e materia-radiazione.

fig1_12.jpg
Fig. 1.13 L'emissività di un corpo nero per varie temperature in funzione della lunghezza d'onda lambda (in 103 Angstrom). La curva a tratti riporta schematicamente l'andamento dello spettro solare.

Si può mostrare che l'energia S irradiata in un secondo nell' angolo solido 2 pi dalla unità di superficie di un corpo in equilibrio termodinamico (corpo nero) risulta

S=c / 4 u [2]

e quindi, indicando con S_nu d nu l'energia irraggiata nell'intervallo di frequenza nu e nu + d nu

S_nu = {{2 pi h nu^3} / c^2} {1 / { exp {{h nu} / { kT}}  -1}} = pi B_nu [3]

dove B_nu è nota come funzione di Plank.

Poichè per la lunghezza d'onda lambda è lambda = c/nu si ha d lambda =-c/nu^2 d nu e d nu =- nu^2/c d lambda = - c/ lambda^2 d lambda, il flusso energetico per unità di superficie e di lunghezza d'onda ( emittanza) risulta (fig. 1.13)


S_lambda = {{2 h c^2}/lambda^5}{1/{exp{h nu}/{kT} - 1}} = pi B_lambda [4]



fig1_13.jpg
Fig 1.14 Spettro del Sole al di fuori dell'atmosfera (punti) confrontato con il corpo neroa 6000 K (tratto e punto) e con lo spettro della radiazione raccolta alla superficie della Terra. Si notino in questo ultimo spettro, al di là di 8000 A, le bande degli assorbimenti causati da H_2O, O_2, H_2 e C O_2

Per l'energia irraggiata per unità di superficie e di tempo da un corpo nero si ha

W = pi int{0}{infty}{B_lambda d lambda} = sigma T^4 (legge di Stefan-Boltzman)

con sigma = 5.67 10^{-5} erg/cm^2 sec.

Annullando nella (4) la derivata dB_lambda/{d lambda} si ottiene per la lunghezza d'onda cui corrisponde il massimo di emissione

lambda_max T = cost = 0.2898  cm K (legge di Wien).

L'emissione delle superfici stellari approssima in generale distribuzioni (spettri) di corpo nero. In tal senso si può parlare di temperatura della radiazione e delle superfici stellari. La fig. 1.14 pone ad esempio a confronto lo spettro della radiazione solare con la distribuzione di corpo nero, mostrando come alla superficie del Sole debba essere attribuita una temperatura che si aggira attorno a T approx 6000
K.

Di particolare importanza per le stelle è la temperatura efficace T_e, definita dalla legge di Stefan-Boltzmann

L=4 pi R^2 sigma {T_e}^4

dove L e R indicano rispettivamente luminosità e raggio della stella. La temperatura efficace è dunque la temperatura che avrebbe la superficie della stella se emettesse esattamente come un corpo nero.


c01/a01.txt · Ultima modifica: 27/01/2020 15:38 da marco