Astrofisica Stellare

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====== A2.2 Gradiente di temperatura e gradiente radiativo. Conduzione elettronica. ======

<WRAP justify>
Se nel plasma stellare esiste un gradiente di [[wp.it>temperatura]] (Fig. 2.7) 
la densità di [[Wp.it>fotone|fotoni]] cresce con la temperatura e
si produrrà un flusso netto di fotoni dalle maggiori verso le
minori temperature. E' possibile porre in relazione il gradiente
di temperatura con tale flusso, osservando che le interazioni con
la materia tendono ad isotropizzare i fotoni del flusso,
estraendoli dal "fascio" direzionale e che, in tal modo, i fotoni
devono cedere momento alla materia.

{{:c02:figura_02_07.jpg?400}}
\\
**Figura 2.7** I fotoni che compongono il flusso di
energia  fluente tra due temperature T$_1$ e T$_2$ (T$_1$ $>$
T$_2$) subiscono interazioni che li isotropizzano cedendo
quantità di moto alla materia 

\\
Il numero di interazioni subite da uno di questi fotoni in un
tragitto $dr$ è dato da $dr/\lambda$, dove $\lambda$
rappresenta il //libero cammino medio// del fotone. Se N è il numero di
fotoni che attraversano nell'unità di tempo l'unità di
superficie, il //momento trasferito nell'unità di tempo// dai fotoni
alle particelle sarà
\\
$$dp = N \frac {dr}{\lambda} \frac {h\nu}{c} = \frac {\Phi}{\lambda c} dr$$
\\
Poichè la pressione di radiazione altro non è che il
momento trasportato per unità di superficie e di tempo, $dp =
dP_r$, e quindi
\\
$$\frac {\Phi}{\lambda c} dr = dP_r$$
\\
Ove, come nel caso degli interni stellari, si possa
assumere l'equilibrio termodinamico locale, $P_r = a/3 T^4$ e si
ottiene così
\\
$$\Phi =  \lambda c \frac {dP_r}{dr} = \lambda c \frac {4a}{3} T^3 \frac {dT}{dr}$$
\\
Poiché il cammino libero medio dei fotoni dipende dalla
frequenza, ponendo $\lambda = 1/\overline \kappa \rho$, dove
$\overline \kappa$ rappresenta una opportuna media (//media di
Rosseland//) sulla distribuzione energetica dei fotoni:
$1/\overline \kappa \rho$ rappresenta la probabilità media di
interazione per unità di percorso e $\overline \kappa$ prende il
nome di //opacità per grammo di materia//. Si ha così infine
\\
$$\Phi = \frac {4acT^3}{3 \overline \kappa \rho}\frac {dT}{dr}$$
\\
che mostra come //in condizioni di equilibrio
termodinamico sussiste una necessaria proporzionalità tra
gradiente di temperatura e flusso di energia trasportato dai
fotoni.//

In assenza di convezione, poiché in un gas il trasporto per
conduzione è in genere molto poco efficiente, la precedente
relazione si trasforma in una relazione tra gradiente di
temperatura e flusso totale di energia. Ciò però non è più
vero nel caso di //degenerazione elettronica//, allorquando per
motivi quantistici gli elettroni manifestano un comportamento
collettivo (<tex>$\rightarrow A3.2$</tex>). In tal caso, come avviene nei
metalli, un gas di elettroni mal sopporta gradienti energetici, e
la //conduzione elettronica// diviene un meccanismo di grande
efficienza.

Per il flusso di energi $\Phi_c$ trasportato dalla conduzione si
può ancora porre
\\
$$\Phi_c = C \frac {dT}{dr}$$
\\
ove il valore di C resta definito per le varie
condizioni fisiche del mezzo dalla teoria di un gas
elettronicamente degenere. In presenza di conduzione elettronica
è d'uso generalizzare, con semplice artificio, la precedente
formula del gradiente radiativo. Basta infatti definire una 
//opacità conduttiva// <tex>$\kappa_c$</tex> attraverso la relazione
\\
$$C = \frac {4acT^3}{3\kappa_c \rho}$$
\\
per ottenere
\\
$$\Phi_r + \Phi_c = - \frac { 4acT^3}{3\rho}(\frac {1}{\overline \kappa_r} 
+ \frac {1}{\kappa_c})\frac {dT}{dr}$$
\\
Definendo come //opacità totale// 
$1/\kappa_T =
1/\overline \kappa_r + 1/\kappa_c$
si ottiene la forma
generalizzata
\\
$$\Phi = \frac { 4acT^3}{3\kappa_T \rho}\frac {dT}{dr}$$
\\
che collega la totalità del flusso "non convettivo" al
gradiente locale di temperatura.
</WRAP>
\\
----
~~DISQUS~~