Se nel plasma stellare esiste un gradiente di temperatura (Fig. 2.7) la densità di fotoni cresce con la temperatura e si produrrà un flusso netto di fotoni dalle maggiori verso le minori temperature. E' possibile porre in relazione il gradiente di temperatura con tale flusso, osservando che le interazioni con la materia tendono ad isotropizzare i fotoni del flusso, estraendoli dal “fascio” direzionale e che, in tal modo, i fotoni devono cedere momento alla materia.

Figura 2.7 I fotoni che compongono il flusso di energia fluente tra due temperature <tex>T$_1$ e T$_2$ (T$_1$ $>$ T$_2$)</tex> subiscono interazioni che li isotropizzano cedendo quantità di moto alla materia

Il numero di interazioni subite da uno di questi fotoni in un tragitto <tex>$dr$</tex> è dato da <tex>$dr/\lambda$</tex>, dove <tex>$\lambda$</tex> rappresenta il libero cammino medio del fotone. Se N è il numero di fotoni che attraversano nell'unità di tempo l'unità di superficie, il momento trasferito nell'unità di tempo dai fotoni alle particelle sarà

<tex> $$dp = N \frac {dr}{\lambda} \frac {h\nu}{c} = \frac {\Phi}{\lambda c} dr$$ </tex>

Poichè la pressione di radiazione altro non è che il momento trasportato per unità di superficie e di tempo, <tex>$dp = dP_r$</tex>, e quindi

<tex> $$\frac {\Phi}{\lambda c} dr = dP_r$$ </tex>

Ove, come nel caso degli interni stellari, si possa assumere l'equilibrio termodinamico locale, <tex>$P_r = a/3 T^4$</tex> e si ottiene così

<tex> $$\Phi = \lambda c \frac {dP_r}{dr} = \lambda c \frac {4a}{3} T^3 \frac {dT}{dr}$$ \noindent </tex>

Poiché il cammino libero medio dei fotoni dipende dalla frequenza, ponendo <tex>$\lambda = 1/\overline \kappa \rho$</tex>, dove <tex>$\overline \kappa$</tex> rappresenta una opportuna media (media di Rosseland) sulla distribuzione energetica dei fotoni: <tex>$1/\overline \kappa \rho$</tex> rappresenta la probabilità media di interazione per unità di percorso e <tex>$\overline \kappa$</tex> prende il nome di opacità per grammo di materia. Si ha così infine

<tex> $$\Phi = \frac {4acT^3}{3 \overline \kappa \rho}\frac {dT}{dr}$$ </tex>

che mostra come in condizioni di equilibrio termodinamico sussiste una necessaria proporzionalità tra gradiente di temperatura e flusso di energia trasportato dai fotoni.

In assenza di convezione, poiché in un gas il trasporto per conduzione è in genere molto poco efficiente, la precedente relazione si trasforma in una relazione tra gradiente di temperatura e flusso totale di energia. Ciò però non è più vero nel caso di degenerazione elettronica, allorquando per motivi quantistici gli elettroni manifestano un comportamento collettivo (<tex>$\rightarrow A3.2$</tex>). In tal caso, come avviene nei metalli, un gas di elettroni mal sopporta gradienti energetici, e la conduzione elettronica diviene un meccanismo di grande efficienza.

Per il flusso di energia <tex>$\Phi_c$</tex> trasportato dalla conduzione si può ancora porre

<tex> $$\Phi_c = C \frac {dT}{dr}$$ </tex>

ove il valore di C resta definito per le varie condizioni fisiche del mezzo dalla teoria di un gas elettronicamente degenere. In presenza di conduzione elettronica è d'uso generalizzare, con semplice artificio, la precedente formula del gradiente radiativo. Basta infatti definire una opacità conduttiva <tex>$\kappa_c$</tex> attraverso la relazione

<tex> $$C = \frac {4acT^3}{3\kappa_c \rho}$$ </tex>

per ottenere

<tex> $$\Phi_r + \Phi_c = - \frac { 4acT^3}{3\rho}(\frac {1}{\overline \kappa_r} + \frac {1}{\kappa_c})\frac {dT}{dr}$$ </tex>

Definendo come opacità totale <tex>$1/\kappa_T = 1/\overline \kappa_r + 1/\kappa_c$ </tex> si ottiene la forma generalizzata

<tex> $$\Phi = \frac { 4acT^3}{3\kappa_T \rho}\frac {dT}{dr}$$ </tex>

che collega la totalità del flusso “non convettivo” al gradiente locale di temperatura.

<fbl>