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c02:algoritmi_metodo_henyey

Algoritmi risolutivi del metodo di Henyey

Si è già mostrato come il metodo di integrazione di modelli stellari noto come metodo di Henyey conduca ad un sistema di 4N equazioni in 4N incognite, essendo N il numero di mesh in cui è stata suddivisa la struttura interna della stella. Ricordiamo qui alcuni tra i vari accorgimenti di calcolo in genere adottati nel raggiungere la soluzione.

E' d'uso innanzitutto raffinare il sistema di equazioni definendo le variabili fisiche nel generico intermesh j+1/2 ponendo $P_{j+1/2}=(P_{j+1}-P_j)/2$ e simili, e scrivendo le equazioni di equilibrio nella forma
$$\frac {P_{j+1}-P_j}{r_{j+1}-r_j}= G \frac{M_{j+1/2}\rho_{j+1/2}}{r_{j+1/2}^2}$$
Si noti come in tale forma venga automaticamente eliminata l'apparente singolarità centrale. E' inoltre d'uso portare le equazioni in forma logaritmica, così da rendere più maneggevole il calcolo delle derivate.

Lo soluzione del sistema di equazioni può essere agevolmente raggiunta attraverso un metodo di sostituzioni ricorrenti. Si consideri, ad esempio, la prima quadrupletta di equazioni che fanno riferimento al mesh centrale (j=1) ed a quello adiacente (j=2). Si è già notato trattarsi di 4 equazioni in 6 incognite, dovendo risultare per due delle correzioni $\Delta L_1 = \Delta r_1 = 0$. E' dunque possibile risolvere per sostituzione il sistema ricavando $\Delta r_2, \Delta L_2, \Delta P_2$ e $\Delta T_2$ in funzione di $\Delta P_1$ e $\Delta T_1$. Riportando questi 4 valori delle correzioni nella seconda quadrupletta è ora possibile ricavare le 4 correzioni nel mesh 3 sempre in funzione di $\Delta P_1$ e $\Delta T_1$, e così di seguito sino a ricavare tutte le correzioni in funzione delle due incognite correzioni centrali. Tali due gradi di libertà del problema si eliminano imponendo che r, L, P e T nell'ultimo mesh N (= base della subatmosfera) debbano corrispondere a soluzioni dell'integrazione compiuta dall'esterno al variare delle condizioni iniziali $L$ e $T_e$.

Per far ciò, si esegue una preventiva serie di integrazioni dall'esterno variando opportunamente le condizioni iniziali $L$ e $T_e$, così da ricavare $r_N, L_N, P_N$ e $T_N$ come funzioni lineari di $L$ e $T_e$. Imponendo la coincidenza dei valori esterni ed interni nel mesh N si ottengono infine 4 equazioni nelle 4 incognite $\Delta P_1, \Delta T_1, L $ e $ T_e$ e, da $\Delta P_1$ e $\Delta T_1$ le correzioni da apportare alle variabili fisiche in tutti gli altri mesh. Poiché ci siamo mossi nell'ambito di un trattamento linearizzato al primo ordine, la soluzione finale sarà raggiunta dopo un certo numero di iterazioni, sempre che la soluzione di prova sia fornita all'interno della relativa area di convergenza.

Il vantaggio essenziale del metodo del fitting è di richiedere solo le 4 condizioni al contorno, senza il bisogno di fornire valutazioni preventive dell'andamento delle variabili fisiche lungo tutta la struttura. Il metodo di Henyey si fa peraltro preferire perché il trattamento “locale” della soluzione consente di affrontare strutture complesse, con discontinuità fisiche o chimiche quali si incontrano nelle fasi avanzate dell'evoluzione stellare. Vedremo nel seguito come il metodo del fitting sia utilizzato come “innesco” del metodo di Henyey nella valutazione delle sequenze evolutive.

Ricordiamo ancora una volta come il risultato del metodo di Henyey NON dipenda dalla bontà delle derivate delle discrepanze. Ciò nella pratica consente alcune semplificazioni delle procedure di calcolo evitando la valutazione di derivate troppo numericamente onerose. Più in generale, se ne conclude anche che, in assenza di errori formali nella stesura delle equazioni dell'equilibrio, i risultati dell'integrazione di un modello non dipendono dal particolare codice utilizzato ma solo dalla bontà delle relazioni e/o assunzioni fisiche dal modello stesso utilizzate.




c02/algoritmi_metodo_henyey.txt · Ultima modifica: 24/11/2017 10:45 da marco