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+++ c02:algoritmi_metodo_henyey [24/11/2017 10:45] – sistemazione TeX e giustificazione testo marco
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== Algoritmi risolutivi del metodo di Henyey ======
+<WRAP justify>
+Si è già mostrato come il metodo di integrazione di modelli
+stellari noto come //metodo di Henyey// conduca ad un sistema di
+N equazioni in 4N incognite, essendo N il numero di mesh in cui
+è stata suddivisa la struttura interna della stella. Ricordiamo
+qui alcuni tra i vari accorgimenti di calcolo in genere adottati
+nel raggiungere la soluzione.
+E' d'uso innanzitutto raffinare il sistema di equazioni definendo
+le variabili fisiche nel generico intermesh j+1/2 ponendo
+$P_{j+1/2}=(P_{j+1}-P_j)/2$ e simili, e scrivendo le equazioni di
+equilibrio nella forma
+\\
+$$\frac {P_{j+1}-P_j}{r_{j+1}-r_j}= G \frac{M_{j+1/2}\rho_{j+1/2}}{r_{j+1/2}^2}$$
+\\
+Si noti come in tale forma venga automaticamente eliminata
+l'apparente singolarità centrale. E' inoltre d'uso portare le
+equazioni in forma logaritmica, così da rendere più
+maneggevole il calcolo delle derivate.
+Lo soluzione del sistema di equazioni può essere agevolmente
+raggiunta attraverso un metodo di sostituzioni ricorrenti. Si
+consideri, ad esempio, la prima quadrupletta di equazioni che
+fanno riferimento al mesh centrale (j=1) ed a quello adiacente
+(j=2). Si è già notato trattarsi di 4 equazioni in 6
+incognite, dovendo risultare per due delle correzioni $\Delta L_1
+= \Delta r_1 = 0$. E' dunque possibile risolvere per sostituzione
+il sistema ricavando $\Delta r_2, \Delta L_2, \Delta P_2$ e
+$\Delta T_2$ in funzione di $\Delta P_1$ e
+$\Delta T_1$.
+Riportando questi 4 valori delle correzioni nella seconda
+quadrupletta è ora possibile ricavare le 4 correzioni nel mesh 3
+sempre in funzione di $\Delta P_1$ e $\Delta T_1$,
+e così di
+seguito sino a ricavare tutte le correzioni in funzione delle due
+incognite correzioni centrali. Tali due gradi di libertà del
+problema si eliminano imponendo che r, L, P e T nell'ultimo mesh N
+(= base della subatmosfera) debbano corrispondere a soluzioni
+dell'integrazione compiuta dall'esterno al variare delle
+condizioni iniziali $L$ e $T_e$.
+Per far ciò, si esegue una preventiva serie di integrazioni
+dall'esterno variando opportunamente le condizioni iniziali $L$ e
+$T_e$, così da ricavare $r_N, L_N, P_N$ e $T_N$
+come funzioni
+lineari di $L$ e $T_e$. Imponendo la coincidenza dei valori
+esterni ed interni nel mesh N si ottengono infine 4 equazioni
+nelle 4 incognite $\Delta P_1, \Delta T_1, L $ e $ T_e$ e, da
+$\Delta P_1$ e $\Delta T_1$ le correzioni da apportare alle
+variabili fisiche in tutti gli altri mesh. Poiché ci siamo mossi
+nell'ambito di un trattamento linearizzato al primo ordine, la
+soluzione finale sarà raggiunta dopo un certo numero di
+iterazioni, sempre che la soluzione di prova sia fornita
+all'interno della relativa area di convergenza.
+Il vantaggio essenziale del metodo del fitting è di richiedere
+solo le 4 condizioni al contorno, senza il bisogno di fornire
+valutazioni preventive dell'andamento delle variabili fisiche
+lungo tutta la struttura. Il metodo di Henyey si fa peraltro
+preferire perché il trattamento "locale" della soluzione
+consente di affrontare strutture complesse, con discontinuità
+fisiche o chimiche quali si incontrano nelle fasi avanzate
+dell'evoluzione stellare. Vedremo nel seguito come il metodo del
+fitting sia utilizzato come "innesco" del metodo di Henyey nella
+valutazione delle sequenze evolutive.
+Ricordiamo ancora una volta come il risultato del metodo di Henyey
+NON dipenda dalla bontà delle derivate delle discrepanze. Ciò
+nella pratica consente alcune semplificazioni delle procedure di
+calcolo evitando la valutazione di derivate troppo numericamente
+onerose. Più in generale, se ne conclude anche che, in assenza
+di errori formali nella stesura delle equazioni dell'equilibrio, i
+risultati dell'integrazione di un modello non dipendono dal
+particolare codice utilizzato ma solo dalla bontà delle
+relazioni e/o assunzioni fisiche dal modello stesso utilizzate.
+</WRAP>
+\\
+----
+\\
+~~DISQUS~~