Astrofisica Stellare

Questa pagina è in sola lettura. Puoi visualizzare il sorgente, ma non puoi modificarlo. Contatta l'amministratore se pensi che ci sia un errore.
====== A2.7 Algoritmi risolutivi del metodo di Henyey ======

<WRAP justify>
Si è già mostrato come il metodo di integrazione di modelli
stellari noto come //metodo di Henyey// conduca ad un sistema di
4N equazioni in 4N incognite, essendo N il numero di mesh in cui
è stata suddivisa la struttura interna della stella. Ricordiamo
qui alcuni tra i vari accorgimenti di calcolo in genere adottati
nel raggiungere la soluzione.

E' d'uso innanzitutto raffinare il sistema di equazioni definendo
le variabili fisiche nel generico intermesh j+1/2 ponendo
$P_{j+1/2}=(P_{j+1}-P_j)/2$ e simili, e scrivendo le equazioni di
equilibrio nella forma
\\
$$\frac {P_{j+1}-P_j}{r_{j+1}-r_j}= G \frac{M_{j+1/2}\rho_{j+1/2}}{r_{j+1/2}^2}$$
\\
Si noti come in tale forma venga automaticamente eliminata
l'apparente singolarità centrale. E' inoltre d'uso portare le
equazioni in forma logaritmica, così da rendere più
maneggevole il calcolo delle derivate.

Lo soluzione del sistema di equazioni può essere agevolmente
raggiunta attraverso un metodo di sostituzioni ricorrenti. Si
consideri, ad esempio, la prima quadrupletta di equazioni che
fanno riferimento al mesh centrale (j=1) ed a quello adiacente
(j=2). Si è già notato trattarsi di 4 equazioni in 6
incognite, dovendo risultare per due delle correzioni $\Delta L_1
= \Delta r_1 = 0$. E' dunque possibile risolvere per sostituzione
il sistema ricavando $\Delta r_2, \Delta L_2, \Delta P_2$ e
$\Delta T_2$ in funzione di $\Delta P_1$ e 
$\Delta T_1$.
Riportando questi 4 valori delle correzioni nella seconda
quadrupletta è ora possibile ricavare le 4 correzioni nel mesh 3
sempre in funzione di $\Delta P_1$ e $\Delta T_1$, 
e così di
seguito sino a ricavare tutte le correzioni in funzione delle due
incognite correzioni centrali. Tali due gradi di libertà del
problema si eliminano imponendo che r, L, P e T nell'ultimo mesh N
(= base della subatmosfera) debbano corrispondere a soluzioni
dell'integrazione compiuta dall'esterno al variare delle
condizioni iniziali $L$ e $T_e$.

Per far ciò, si esegue una preventiva serie di integrazioni
dall'esterno variando opportunamente le condizioni iniziali $L$ e
$T_e$, così da ricavare $r_N, L_N, P_N$ e $T_N$
come funzioni
lineari di $L$ e $T_e$. Imponendo la coincidenza dei valori
esterni ed interni nel mesh N si ottengono infine 4 equazioni
nelle 4 incognite $\Delta P_1, \Delta T_1, L $ e $ T_e$ e, da
$\Delta P_1$ e $\Delta T_1$ le correzioni da apportare alle
variabili fisiche in tutti gli altri mesh. Poiché ci siamo mossi
nell'ambito di un trattamento linearizzato al primo ordine, la
soluzione finale sarà raggiunta dopo un certo numero di
iterazioni, sempre che la soluzione di prova sia fornita
all'interno della relativa area di convergenza.

Il vantaggio essenziale del metodo del fitting è di richiedere
solo le 4 condizioni al contorno, senza il bisogno di fornire
valutazioni preventive dell'andamento delle variabili fisiche
lungo tutta la struttura. Il metodo di Henyey si fa peraltro
preferire perché il trattamento "locale" della soluzione
consente di affrontare strutture complesse, con discontinuità
fisiche o chimiche quali si incontrano nelle fasi avanzate
dell'evoluzione stellare. Vedremo nel seguito come il metodo del
fitting sia utilizzato come "innesco" del metodo di Henyey nella
valutazione delle sequenze evolutive.

Ricordiamo ancora una volta come il risultato del metodo di Henyey
NON dipenda dalla bontà delle derivate delle discrepanze. Ciò
nella pratica consente alcune semplificazioni delle procedure di
calcolo evitando la valutazione di derivate troppo numericamente
onerose. Più in generale, se ne conclude anche che, in assenza
di errori formali nella stesura delle equazioni dell'equilibrio, i
risultati dell'integrazione di un modello non dipendono dal
particolare codice utilizzato ma solo dalla bontà delle
relazioni e/o assunzioni fisiche dal modello stesso utilizzate.
</WRAP>
\\
----
\\
~~DISQUS~~