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c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff

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c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff [23/11/2017 15:11]
marco sistemazione TeX e giustificazione testo
Linea 1: Linea 1:
 +====== A2.3 L'​equazione di Oppenheimer-Volkoff. Il raggio di Schwarzschild. ======
  
 +<WRAP justify>
 +La [[Wp.it>​Campo_gravitazionale#​Teoria_Newtoniana|formulazione newtoniana della gravitazione]],​ così come
 +inserita nella relazione dell'​equilibrio idrostatico,​ non può
 +essere mantenuta per campi gravitazionali estremi, quando
 +l'​energia gravitazionale delle particelle diventa non trascurabile
 +a confronto dell'​energia di massa $E = mc^2$. ​
 +Occorre in tal caso
 +ricorrere al formalismo della [[wp.it>​Relatività_generale|relatività generale]]. Adottando la
 +[[Wp.it>​Spazio-tempo_di_Schwarzschild|metrica di Schwarzschild]],​ che governa il campo gravitazionale a
 +simmetria sferica generato da una massa "​m"​
 +\\
 +$$ds^2 = - (1 -{r_g \over r}) d(ct)^2 + {1 \over {1 - r_g/r}} dr^2 
 ++r^2(d\theta^2 +sin^2\theta d\Phi ^2)$$
 +\\
 +dove
 +\\
 +$$r_g = {2Gm \over c^2}$$
 +\\
 +si giunge a riscrivere l'​equazione dell'​equilibrio idrostatico e
 +quella della conservazione della massa nella forma generalizzata
 +relativistica
 +\\
 +$$\frac {dP}{dr}=-\frac {GM_r}{r^2} \rho
 +(1 + \frac {P}{\rho c^2}) (1 + \frac {4 \pi r^3 P}{M_r c^2})
 +(1 - \frac {2GM_r}{rc^2})^{-1}$$
 +\\
 +$$\frac {dM_r}{dr}= 4 \pi r^2 \rho$$
 +\\
 +dove $M_r$, massa contenuta all'​interno del raggio "​r"​.
 +contiene il contributo non solo della massa a riposo delle
 +particelle ma anche quello della loro energia.
 +
 +Le strutture in cui
 +si rende necessaria l'​applicazione di un tale formalismo si
 +collocano in qualche maniera ai due estremi delle normali
 +strutture stellari: stelle supermassive e stelle di neutroni.
 +\\
 +\\
 +{{:​c02:​figura_02_08.jpg?​400}}
 +\\
 +**Figura 2.8** La relazione massa densità centrale per
 +le strutture di stelle di neutroni, La curva A indica la soluzione
 +per un gas di neutroni liberi mentre le altre curve portano esempi
 +di equazioni di stato più elaborate.
 +\\
 +\\
 +Per ciò che riguarda gli oggetti supermassivi ($M\sim 10^5-10^8
 +M_\odot $) è da notare che per i normali oggetti stellari esiste
 +un limite superiore, a poco più di 100 $M_\odot$, per la
 +formazione di strutture stabili. Ciò perchè al crescere della
 +massa il crescente contributo della pressione di radiazione
 +finisce col destabilizzare la stella. Al livello di
 +supermassività indicato intervengono però due nuovi fattori
 +che consentono, almeno in linea di principio, strutture
 +gravitazionalmente legate. Infatti il campo gravitazionale
 +efficace è enormemente accresciuto dall'​equivalente in massa
 +dell'​energia e, nel contempo, i fotoni perdono energia nel
 +propagarsi contro il campo gravitazionale,​ riducendo di molto gli
 +effetti della pressione di radiazione.
 +
 +Oggetti supermassivi sono stati nel passato invocati per
 +giustificare l'​emissione luminosa da nuclei galattici,
 +radiosorgenti e [[wp.it>​quasar]]. Per quanto tale ipotesi sia stata ormai
 +abbandonata,​ è da notare che da una struttura di 
 +$10^5 M_\odot$
 +nelle fasi iniziali di combustione di idrogeno si attendono ​
 +$\sim 10^{43}$ erg/sec, con temperature efficaci ​
 +$(\rightarrow 1.7.1) T_e\sim 6 \ 10^4 K$. 
 +Il confronto con la luminosità del Sole
 +$(\sim 10^{33} erg/sec)$
 +rivela come in tali oggetti supermassivi
 +il rapporto luminosità/​massa risulti dell'​ordine di 
 +$\sim 10^5$
 +volte di quello solare.
 +
 +A causa delle elevatissime densità, anche [[wp.it>​stelle di neutroni]] che
 +eventualmente si producano nell'​esplosione di [[wp.it>​Supernovae]] sono
 +caratterizzate da campi gravitazionali estremamente intensi, e
 +necessitano quindi di un trattamento relativistico. Se si assume
 +che i neutroni si comportino come un [[wp.it>​Gas_di_Fermi|gas di fermioni]] liberi
 +($\rightarrow A3.2$) per essi vale un equazione di stato del tipo
 +\\
 +$$ P = P(\rho)\sim 4 * 10^{19} \rho^{5/​3}$$
 +\\
 +che, unita alle due precedenti relazioni, consente di definire la
 +struttura dell'​oggetto (caso //​politropico//​ $\rightarrow
 +A5.1$). Se ne ottiene una relazione massa-densità centrale che
 +raggiunge un massimo per $M=0.7M_\odot$ (Fig.2.8). E' subito visto
 +che strutture al di sopra di tale limite non sono  stabili: una
 +fluttuazione della densità centrale porterebbe la stella fuori
 +dall'​equilibrio,​ innescando una contrazione e,di qui, un processo
 +di collasso reazionato positivamente.
 +
 +L'​approssimazione di un gas di fermioni appare peraltro
 +inadeguata, perchè a densità che raggiungono e superano quelle
 +nucleari interverranno certamente //​interazioni a molti corpi// tra le
 +particelle. Equazioni di stato più realistiche appaiono spostare
 +il precedente limite sino a 2-3 $M_\odot$ (Fig. 2.8).
 +Al di sopra di queste masse non si trovano
 +meccanismi in grado di fermare il collasso della struttura, che
 +dovrebbe quindi procedere indefinitamente.
 +
 +
 +Al riguardo è facile verificare come l'​equazione dell'​equilibrio
 +presenti una singolarità per
 +\\
 +$$r=\frac{2GM}{c^2}$$
 +\\
 +E' questo il cosiddetto //raggio di Schwarzschild//​. Anche
 +nell'​approssimazione non relativistica si verifica facilmente che,
 +per ogni massa, //a tale raggio corrisponde una velocità di fuga
 +pari alla velocità della luce.// In generale si trova che quando il
 +collasso raggiunge il raggio di Schwarzschild i fotoni non sono
 +ulteriormente in grado di sfuggire dall'​oggetto collassante,​ che
 +quindi cessa di avere un tale canale di comunicazione
 +elettromagnetica con il resto dell'​Universo (diventando una 
 +[[wp.it>​buco_nero|buca nera]]).
 +</​WRAP>​
 +\\
 +<fbl>
 +\\
 +----
 +~~DISQUS~~
c02/equazione_di_oppenheimer-volkoff.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:11 da marco