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--- c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff [23/09/2010 10:37]
marco link
+++ c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff [23/11/2017 15:11]
marco sistemazione TeX e giustificazione testo
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== A2.3 L'equazione di Oppenheimer-Volkoff. Il raggio di Schwarzschild. ======
+<WRAP justify>
+La [[Wp.it>Campo_gravitazionale#Teoria_Newtoniana|formulazione newtoniana della gravitazione]], così come
+inserita nella relazione dell'equilibrio idrostatico, non può
+essere mantenuta per campi gravitazionali estremi, quando
+l'energia gravitazionale delle particelle diventa non trascurabile
+a confronto dell'energia di massa $E = mc^2$.
+Occorre in tal caso
+ricorrere al formalismo della [[wp.it>Relatività_generale|relatività generale]]. Adottando la
+[[Wp.it>Spazio-tempo_di_Schwarzschild|metrica di Schwarzschild]], che governa il campo gravitazionale a
+simmetria sferica generato da una massa "m"
+\\
+$$ds^2 = - (1 -{r_g \over r}) d(ct)^2 + {1 \over {1 - r_g/r}} dr^2
++r^2(d\theta^2 +sin^2\theta d\Phi ^2)$$
+\\
+dove
+\\
+$$r_g = {2Gm \over c^2}$$
+\\
+si giunge a riscrivere l'equazione dell'equilibrio idrostatico e
+quella della conservazione della massa nella forma generalizzata
+relativistica
+\\
+$$\frac {dP}{dr}=-\frac {GM_r}{r^2} \rho
+(1 + \frac {P}{\rho c^2}) (1 + \frac {4 \pi r^3 P}{M_r c^2})
+(1 - \frac {2GM_r}{rc^2})^{-1}$$
+\\
+$$\frac {dM_r}{dr}= 4 \pi r^2 \rho$$
+\\
+dove $M_r$, massa contenuta all'interno del raggio "r".
+contiene il contributo non solo della massa a riposo delle
+particelle ma anche quello della loro energia.
+Le strutture in cui
+si rende necessaria l'applicazione di un tale formalismo si
+collocano in qualche maniera ai due estremi delle normali
+strutture stellari: stelle supermassive e stelle di neutroni.
+\\
+\\
+{{:c02:figura_02_08.jpg?400}}
+\\
+**Figura 2.8** La relazione massa densità centrale per
+le strutture di stelle di neutroni, La curva A indica la soluzione
+per un gas di neutroni liberi mentre le altre curve portano esempi
+di equazioni di stato più elaborate.
+\\
+\\
+Per ciò che riguarda gli oggetti supermassivi ($M\sim 10^5-10^8
+M_\odot $) è da notare che per i normali oggetti stellari esiste
+un limite superiore, a poco più di 100 $M_\odot$, per la
+formazione di strutture stabili. Ciò perchè al crescere della
+massa il crescente contributo della pressione di radiazione
+finisce col destabilizzare la stella. Al livello di
+supermassività indicato intervengono però due nuovi fattori
+che consentono, almeno in linea di principio, strutture
+gravitazionalmente legate. Infatti il campo gravitazionale
+efficace è enormemente accresciuto dall'equivalente in massa
+dell'energia e, nel contempo, i fotoni perdono energia nel
+propagarsi contro il campo gravitazionale, riducendo di molto gli
+effetti della pressione di radiazione.
+Oggetti supermassivi sono stati nel passato invocati per
+giustificare l'emissione luminosa da nuclei galattici,
+radiosorgenti e [[wp.it>quasar]]. Per quanto tale ipotesi sia stata ormai
+abbandonata, è da notare che da una struttura di
+$10^5 M_\odot$
+nelle fasi iniziali di combustione di idrogeno si attendono
+$\sim 10^{43}$ erg/sec, con temperature efficaci
+$(\rightarrow 1.7.1) T_e\sim 6 \ 10^4 K$.
+Il confronto con la luminosità del Sole
+$(\sim 10^{33} erg/sec)$
+rivela come in tali oggetti supermassivi
+il rapporto luminosità/massa risulti dell'ordine di
+$\sim 10^5$
+volte di quello solare.
+A causa delle elevatissime densità, anche [[wp.it>stelle di neutroni]] che
+eventualmente si producano nell'esplosione di [[wp.it>Supernovae]] sono
+caratterizzate da campi gravitazionali estremamente intensi, e
+necessitano quindi di un trattamento relativistico. Se si assume
+che i neutroni si comportino come un [[wp.it>Gas_di_Fermi|gas di fermioni]] liberi
+($\rightarrow A3.2$) per essi vale un equazione di stato del tipo
+\\
+$$ P = P(\rho)\sim 4 * 10^{19} \rho^{5/3}$$
+\\
+che, unita alle due precedenti relazioni, consente di definire la
+struttura dell'oggetto (caso //politropico// $\rightarrow
+A5.1$). Se ne ottiene una relazione massa-densità centrale che
+raggiunge un massimo per $M=0.7M_\odot$ (Fig.2.8). E' subito visto
+che strutture al di sopra di tale limite non sono  stabili: una
+fluttuazione della densità centrale porterebbe la stella fuori
+dall'equilibrio, innescando una contrazione e,di qui, un processo
+di collasso reazionato positivamente.
+L'approssimazione di un gas di fermioni appare peraltro
+inadeguata, perchè a densità che raggiungono e superano quelle
+nucleari interverranno certamente //interazioni a molti corpi// tra le
+particelle. Equazioni di stato più realistiche appaiono spostare
+il precedente limite sino a 2-3 $M_\odot$ (Fig. 2.8).
+Al di sopra di queste masse non si trovano
+meccanismi in grado di fermare il collasso della struttura, che
+dovrebbe quindi procedere indefinitamente.
+Al riguardo è facile verificare come l'equazione dell'equilibrio
+presenti una singolarità per
+\\
+$$r=\frac{2GM}{c^2}$$
+\\
+E' questo il cosiddetto //raggio di Schwarzschild//. Anche
+nell'approssimazione non relativistica si verifica facilmente che,
+per ogni massa, //a tale raggio corrisponde una velocità di fuga
+pari alla velocità della luce.// In generale si trova che quando il
+collasso raggiunge il raggio di Schwarzschild i fotoni non sono
+ulteriormente in grado di sfuggire dall'oggetto collassante, che
+quindi cessa di avere un tale canale di comunicazione
+elettromagnetica con il resto dell'Universo (diventando una
+[[wp.it>buco_nero|buca nera]]).
+</WRAP>
+\\
+<fbl>
+\\
+----
+~~DISQUS~~

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