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c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff
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c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff [23/09/2010 11:08] marco minimalia - |
c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff [23/11/2017 15:11] (versione attuale) marco sistemazione TeX e giustificazione testo |
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|---|---|---|---|
| Linea 1: | Linea 1: | ||
| ====== A2.3 L'equazione di Oppenheimer-Volkoff. Il raggio di Schwarzschild. ====== | ====== A2.3 L'equazione di Oppenheimer-Volkoff. Il raggio di Schwarzschild. ====== | ||
| + | <WRAP justify> | ||
| La [[Wp.it>Campo_gravitazionale#Teoria_Newtoniana|formulazione newtoniana della gravitazione]], così come | La [[Wp.it>Campo_gravitazionale#Teoria_Newtoniana|formulazione newtoniana della gravitazione]], così come | ||
| inserita nella relazione dell'equilibrio idrostatico, non può | inserita nella relazione dell'equilibrio idrostatico, non può | ||
| essere mantenuta per campi gravitazionali estremi, quando | essere mantenuta per campi gravitazionali estremi, quando | ||
| l'energia gravitazionale delle particelle diventa non trascurabile | l'energia gravitazionale delle particelle diventa non trascurabile | ||
| - | a confronto dell'energia di massa <tex>$E = mc^2$</tex>. | + | a confronto dell'energia di massa $E = mc^2$. |
| Occorre in tal caso | Occorre in tal caso | ||
| ricorrere al formalismo della [[wp.it>Relatività_generale|relatività generale]]. Adottando la | ricorrere al formalismo della [[wp.it>Relatività_generale|relatività generale]]. Adottando la | ||
| Linea 11: | Linea 12: | ||
| simmetria sferica generato da una massa "m" | simmetria sferica generato da una massa "m" | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$ds^2 = - (1 -{r_g \over r}) d(ct)^2 + {1 \over {1 - r_g/r}} dr^2 | $$ds^2 = - (1 -{r_g \over r}) d(ct)^2 + {1 \over {1 - r_g/r}} dr^2 | ||
| +r^2(d\theta^2 +sin^2\theta d\Phi ^2)$$ | +r^2(d\theta^2 +sin^2\theta d\Phi ^2)$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| dove | dove | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$r_g = {2Gm \over c^2}$$ | $$r_g = {2Gm \over c^2}$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| si giunge a riscrivere l'equazione dell'equilibrio idrostatico e | si giunge a riscrivere l'equazione dell'equilibrio idrostatico e | ||
| Linea 30: | Linea 23: | ||
| relativistica | relativistica | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$\frac {dP}{dr}=-\frac {GM_r}{r^2} \rho | $$\frac {dP}{dr}=-\frac {GM_r}{r^2} \rho | ||
| (1 + \frac {P}{\rho c^2}) (1 + \frac {4 \pi r^3 P}{M_r c^2}) | (1 + \frac {P}{\rho c^2}) (1 + \frac {4 \pi r^3 P}{M_r c^2}) | ||
| (1 - \frac {2GM_r}{rc^2})^{-1}$$ | (1 - \frac {2GM_r}{rc^2})^{-1}$$ | ||
| - | </tex> | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$\frac {dM_r}{dr}= 4 \pi r^2 \rho$$ | $$\frac {dM_r}{dr}= 4 \pi r^2 \rho$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| - | dove <tex>$M_r$</tex>, massa contenuta all'interno del raggio "r". | + | dove $M_r$, massa contenuta all'interno del raggio "r". |
| contiene il contributo non solo della massa a riposo delle | contiene il contributo non solo della massa a riposo delle | ||
| particelle ma anche quello della loro energia. | particelle ma anche quello della loro energia. | ||
| Linea 61: | Linea 47: | ||
| \\ | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| - | Per ciò che riguarda gli oggetti supermassivi (<tex>$M\sim 10^5-10^8 | + | Per ciò che riguarda gli oggetti supermassivi ($M\sim 10^5-10^8 |
| - | M_\odot $</tex>) è da notare che per i normali oggetti stellari esiste | + | M_\odot $) è da notare che per i normali oggetti stellari esiste |
| - | un limite superiore, a poco più di 100 <tex>$M_\odot$</tex>, per la | + | un limite superiore, a poco più di 100 $M_\odot$, per la |
| formazione di strutture stabili. Ciò perchè al crescere della | formazione di strutture stabili. Ciò perchè al crescere della | ||
| massa il crescente contributo della pressione di radiazione | massa il crescente contributo della pressione di radiazione | ||
| Linea 79: | Linea 65: | ||
| radiosorgenti e [[wp.it>quasar]]. Per quanto tale ipotesi sia stata ormai | radiosorgenti e [[wp.it>quasar]]. Per quanto tale ipotesi sia stata ormai | ||
| abbandonata, è da notare che da una struttura di | abbandonata, è da notare che da una struttura di | ||
| - | <tex>$10^5 M_\odot$</tex> | + | $10^5 M_\odot$ |
| nelle fasi iniziali di combustione di idrogeno si attendono | nelle fasi iniziali di combustione di idrogeno si attendono | ||
| - | <tex>$\sim 10^{43}$ erg/sec</tex>, con temperature efficaci | + | $\sim 10^{43}$ erg/sec, con temperature efficaci |
| - | <tex>$(\rightarrow 1.7.1) T_e\sim 6 \ 10^4 K$</tex>. | + | $(\rightarrow 1.7.1) T_e\sim 6 \ 10^4 K$. |
| Il confronto con la luminosità del Sole | Il confronto con la luminosità del Sole | ||
| - | <tex>$(\sim 10^{33} erg/sec)$</tex> | + | $(\sim 10^{33} erg/sec)$ |
| rivela come in tali oggetti supermassivi | rivela come in tali oggetti supermassivi | ||
| il rapporto luminosità/massa risulti dell'ordine di | il rapporto luminosità/massa risulti dell'ordine di | ||
| - | <tex>$\sim 10^5$</tex> | + | $\sim 10^5$ |
| volte di quello solare. | volte di quello solare. | ||
| Linea 95: | Linea 81: | ||
| necessitano quindi di un trattamento relativistico. Se si assume | necessitano quindi di un trattamento relativistico. Se si assume | ||
| che i neutroni si comportino come un [[wp.it>Gas_di_Fermi|gas di fermioni]] liberi | che i neutroni si comportino come un [[wp.it>Gas_di_Fermi|gas di fermioni]] liberi | ||
| - | <tex>($\rightarrow A3.2$)</tex> per essi vale un equazione di stato del tipo | + | ($\rightarrow A3.2$) per essi vale un equazione di stato del tipo |
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| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$ P = P(\rho)\sim 4 * 10^{19} \rho^{5/3}$$ | $$ P = P(\rho)\sim 4 * 10^{19} \rho^{5/3}$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
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| che, unita alle due precedenti relazioni, consente di definire la | che, unita alle due precedenti relazioni, consente di definire la | ||
| - | struttura dell'oggetto (caso //politropico// <tex>$\rightarrow | + | struttura dell'oggetto (caso //politropico// $\rightarrow |
| - | A5.1$</tex>). Se ne ottiene una relazione massa-densità centrale che | + | A5.1$). Se ne ottiene una relazione massa-densità centrale che |
| - | raggiunge un massimo per <tex>$M=0.7M_\odot$</tex> (Fig.2.8). E' subito visto | + | raggiunge un massimo per $M=0.7M_\odot$ (Fig.2.8). E' subito visto |
| che strutture al di sopra di tale limite non sono stabili: una | che strutture al di sopra di tale limite non sono stabili: una | ||
| fluttuazione della densità centrale porterebbe la stella fuori | fluttuazione della densità centrale porterebbe la stella fuori | ||
| Linea 116: | Linea 98: | ||
| nucleari interverranno certamente //interazioni a molti corpi// tra le | nucleari interverranno certamente //interazioni a molti corpi// tra le | ||
| particelle. Equazioni di stato più realistiche appaiono spostare | particelle. Equazioni di stato più realistiche appaiono spostare | ||
| - | il precedente limite sino a <tex>2-3 $M_\odot$</tex> (Fig. 2.8). | + | il precedente limite sino a 2-3 $M_\odot$ (Fig. 2.8). |
| Al di sopra di queste masse non si trovano | Al di sopra di queste masse non si trovano | ||
| meccanismi in grado di fermare il collasso della struttura, che | meccanismi in grado di fermare il collasso della struttura, che | ||
| Linea 125: | Linea 107: | ||
| presenti una singolarità per | presenti una singolarità per | ||
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| - | <tex> | ||
| $$r=\frac{2GM}{c^2}$$ | $$r=\frac{2GM}{c^2}$$ | ||
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| E' questo il cosiddetto //raggio di Schwarzschild//. Anche | E' questo il cosiddetto //raggio di Schwarzschild//. Anche | ||
| Linea 140: | Linea 118: | ||
| elettromagnetica con il resto dell'Universo (diventando una | elettromagnetica con il resto dell'Universo (diventando una | ||
| [[wp.it>buco_nero|buca nera]]). | [[wp.it>buco_nero|buca nera]]). | ||
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| <fbl> | <fbl> | ||
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| ~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ | ||
c02/equazione_di_oppenheimer-volkoff.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:11 da marco
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