Si è già indicato come l'integrazione degli strati atmosferici riposi sull'equazione dell'equilibrio idrostatico e sulla diponibiltà di una relazione che fornisca l'andamento della temperatura al variare della profondità ottica <tex>$\tau$</tex>. Tale relazione, nel caso più generale, si ottiene come risultato di complessi modelli di atmosfera, basati sull'integrazione dell'equazione del trasporto che collega, per ogni assegnata direzione l'intensità della radiazione all'opacità ed alla emissività della materia, giungendo così a fornire predizioni sulla struttura dell'atmosfera e sulle caratteristiche dello spettro della radiazione emergente.

Per ciò che riguarda la temperatura, si ottiene una soluzione semplice nell'approssimazione di atmosfera grigia, ove si assume che l'opacità sia indipendente dalla frequenza della radiazione. In tal caso si ricava:

<tex> $$T^4= \frac{1}{2}T_e^4(1+\frac{3}{2}\tau)$$ </tex>

quindi una <tex>$T(\tau,T_e)$</tex> che per <tex>$\tau=\frac {2}{3}$</tex> fornisce <tex>$T=T_e$</tex>. In generale le relazioni esatte non si discostano sensibilmente dalla relazione di atmosfera grigia, che fornisce così un utile punto di riferimento. Nella pratica dei calcoli evolutivi vengono di frequente usate correzioni semiempiriche alla distribuzione di temperature dell'atmosfera grigia. Tale, ad esempio, la relazione di Krishna-Swami.

E' peraltro da notare che una tale trattazione (approssimazione di Eddington) assume implicitamente una atmosfera in equilibrio radiativo. Ciò e' in genere ben verificato perché nell'atmosfera <tex>$\rho \rightarrow 0$</tex> e, con <tex>$\rho$</tex> tende a zero il gradiente radiativo. Solo in strutture di piccolissima massa (pochi decimi di massa solare) le atmosfere risultano sede di estesi moti convettivi e, in tal caso, la relazione <tex>$T(\tau)$</tex> deve essere solo ricavata da acconci modelli di atmosfera.

E' anche da notare che l'equazione dell'equilibrio idrostatico

<tex> $$\frac{dP}{d\tau}=\frac {g}{\overline \kappa}$$ </tex>

regola l'andamento della pressione totale <tex>$P=P_g + P_r$</tex>. Si ha dunque

<tex> $$\frac {dP_g}{d\tau}= \frac {g}{\overline \kappa} - \frac {dP_r}{d\tau}$$ </tex>

Ma (<tex>$\rightarrow$ A2.2</tex>)

<tex> $$\frac {dP_r}{d\tau}=\frac {\Phi}{c}=\frac {\sigma T_e^4}{c}$$ </tex>

e ponendo $g_r=(\overline \kappa\sigma T_e^4)/c$, si puo' scrivere

<tex> $$\frac{dP_g}{d\tau}=\frac{1}{\overline \kappa}(g-g_r)=g_{eff}/\overline \kappa$$ </tex>

dove <tex>$g_{eff}=g-g_r$</tex> assume il ruolo di gravità efficace.

Nella pratica dei calcoli, l'integrazione non può partire da <tex>$\tau=0$</tex>, ove l'equazione presenta una singolarità, implicando <tex>$P_g=0$</tex> e <tex>$\overline \kappa=0$</tex>. Per ogni assunto <tex>$T_e$</tex> le condizioni iniziali vengono imposte tramite un'iterazione che conduce ad una tripletta di valori <tex>$P_g, T$</tex> e <tex>$\tau$</tex> tra loro compatibili. Assumendo un valore piccolo ma finito di <tex>$P_g$</tex>, si adotta inizialmente <tex>$T=T(\tau=0)$</tex> e, ricavando dalla coppia <tex>$P_g$</tex> e T un valore di <tex>$\rho$</tex>, si ricava quindi <tex>$\tau$</tex> da

<tex> $P/\tau=g_{eff}/\overline\kappa(\rho,T)$ </tex>

Adottando tale <tex>$\tau$</tex> si ottiene una nuova temperatura e quindi un nuovo <tex>$\rho$</tex> , un nuovo <tex>$\overline \kappa$</tex> e, infine, un nuovo <tex>$\tau$</tex>. Il processo viene iterato sino ad ottenere la convergenza.