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c02:materia_in_condizioni_stellari

A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità

Dalla usuale formulazione del primo principio della termodinamica, indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema termodinamico, si ha
$$\delta Q = dU + pdV$$
ove appare la variabile estensiva V = volume occupato dal sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per grammo di materia
$$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
ove l'energia interna U e' ora da intendersi come riferita al grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per $\rho$ le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito dalle tre variabili intensive T, P e $\rho$, fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le precedenti relazioni la pressione P va intesa come pressione totale, somma dunque delle pressioni parziali di gas e radiazione.

La termodinamica ci assicura anche che per trasformazioni reversibili, cioè per trasformazioni che si sviluppano lungo stati di equilibrio e nelle quali restano quindi definite istante per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto resta collegato alla funzione di stato S (entropia) dalla relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in generale porre il primo principio della termodinamica nella forma
$$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili indipendenti, il bilancio energetico deve potersi portare nella forma
$$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$
con

$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$ calore specifico a pressione costante

$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$ calore specifico scambiato in una compressione isoterma.


Nel caso generale la valutazione di questi due coefficienti riposa su opportune e complesse valutazioni sullo stato energetico del sistema, che tengano nel dovuto conto non solo il grado di ionizzazione, ma anche la distribuzione degli elettroni nei vari livelli eccitati, la presenza di eventuali legami molecolari etc. Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato ($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità ($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle variabili di stato $\rho$ e T.

Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri di stato P e T, il primo principio della termodinamica fornisce
$$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$
e quindi
$$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$
$$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$
Poichè ($\rightarrow 3.2$)
$$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$
$$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$
si ottiene, ad esempio, per <tex>$E_T$</tex>
$$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P} (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$
Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha
$$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$
si ottiene infine
$$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2} +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$
Analogamente si ricava
$$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$
Si noti che $TdS=0$ definisce una trasformazione adiabatica. Ne segue che per una tale trasformazione
$$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P} {\rm o anche } \nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$
Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$, pari quindi a 0.4 nel caso di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un gas perfetto monoatomico realizza il massimo possibile gradiente adiabatico. In tal caso infatti, e solo in tal caso, tutto il lavoro assorbito in una compressione adiabatica va in energia cinetica delle particelle e nel corrispondente innalzamento della temperatura. Ove esistano gradi di libertà interni (quali molecole, ionizzazioni, eccitazioni elettroniche) parte del lavoro sarà ripartito tra questi, con conseguente minor innalzamento della temperatura.

Si noti infine che per $P_r>>P_g$, come tende ad avvenire in strutture stellari di massa molto grande,$\nabla_{ad} \rightarrow 0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale comportamento corrisponde alle due direzioni di polarizzazione per ognuna delle tre direzioni di propagazione del fotone. Da questa osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede $$2T+\Omega=0$$ dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle che compongono la struttura e $\Omega$ è l'energia di legame.

La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, quindi con 3 gradi di libertà, tutta l'energia guadagnata dal gas va in energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/2$) per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica, altrettanta energia deve andare negli altri gradi di libertà del sistema. Non resterebbe quindi energia disponibile per sopperire alle perdite per radiazione, e questo è chiaramente incompatibile con la stabilità della struttura. Il predominare della pressione di radiazione porta quindi la struttura verso l'instabilità.

Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma =C_P/C_V$ $=d(logP/dlog\rho)_{ad}$ $=1/(1-\nabla_{ad})$ $= 1+2/N$, con N gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto monoatomico risulta $\gamma=5/3$, per la radiazione $\gamma=4/3$ e la stabilità richiede $\gamma>4/3$.




c02/materia_in_condizioni_stellari.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:21 da marco