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c02:materia_in_condizioni_stellari
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c02:materia_in_condizioni_stellari [23/09/2010 16:23] marco refusi - |
c02:materia_in_condizioni_stellari [23/11/2017 15:21] (versione attuale) marco sistemazione TeX e giustificazione testo |
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|---|---|---|---|
| Linea 1: | Linea 1: | ||
| ====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ====== | ====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ====== | ||
| + | <WRAP justify> | ||
| Dalla usuale formulazione del [[wp.it>primo principio della termodinamica]], | Dalla usuale formulazione del [[wp.it>primo principio della termodinamica]], | ||
| - | indicando con <tex>$\delta Q$</tex> il calore fornito ad un generico sistema | + | indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema |
| termodinamico, si ha | termodinamico, si ha | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$\delta Q = dU + pdV$$ | $$\delta Q = dU + pdV$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| ove appare la variabile //estensiva// V = volume occupato dal | ove appare la variabile //estensiva// V = volume occupato dal | ||
| sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia | sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia | ||
| - | è pari a <tex>$1/\rho$</tex>, si risale immediatamente ad una più | + | è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più |
| appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per | appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per | ||
| grammo di materia | grammo di materia | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | $$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| ove l'energia interna U e' ora da intendersi come riferita al | ove l'energia interna U e' ora da intendersi come riferita al | ||
| grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per | grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per | ||
| - | <tex>$\rho$</tex> | + | $\rho$ |
| le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per | le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per | ||
| unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito | unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito | ||
| - | dalle tre variabili //intensive// T, P e <tex>$\rho$</tex>, | + | dalle tre variabili //intensive// T, P e $\rho$, |
| fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico | fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico | ||
| non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le | non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le | ||
| Linea 41: | Linea 33: | ||
| per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto | per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto | ||
| resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it>entropia]]) dalla | resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it>entropia]]) dalla | ||
| - | relazione <tex>$\delta Q = T\delta S$</tex>. Poichè questo è ovviamente | + | relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente |
| il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso | il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso | ||
| dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in | dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in | ||
| generale porre il primo principio della termodinamica nella forma | generale porre il primo principio della termodinamica nella forma | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | $$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili | Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili | ||
| Linea 56: | Linea 44: | ||
| forma | forma | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$ | $$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| con | con | ||
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| \\ | \\ | ||
| - | <tex>$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$</tex> calore specifico a pressione costante | + | $C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$ calore specifico a pressione costante |
| \\ | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| - | <tex>$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$</tex> calore specifico scambiato in una compressione isoterma.\\ | + | $E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$ calore specifico scambiato in una compressione isoterma.\\ |
| \\ | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| Linea 78: | Linea 62: | ||
| Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono | Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono | ||
| in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato | in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato | ||
| - | (<tex>$\rightarrow A3.2$</tex>) ed ai coefficienti di opacità | + | ($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità |
| - | (<tex>$\rightarrow A3.3$</tex>) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della | + | ($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della |
| materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle | materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle | ||
| - | variabili di stato <tex>$\rho$</tex> e T. | + | variabili di stato $\rho$ e T. |
| Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro | Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro | ||
| esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri | esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri | ||
| di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare | di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare | ||
| - | analiticamente i valori di <tex>$C_P$</tex> e <tex>$E_T$</tex>. Scegliendo come parametri | + | analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri |
| di stato P e T, il [[wp.it>Primo_principio_della_termodinamica|primo principio della termodinamica]] | di stato P e T, il [[wp.it>Primo_principio_della_termodinamica|primo principio della termodinamica]] | ||
| fornisce | fornisce | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$ | $$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| e quindi | e quindi | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$ | $$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$ | ||
| - | </tex> | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$ | $$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$ | ||
| - | |||
| - | </tex> | ||
| \\ | \\ | ||
| + | Poichè ($\rightarrow 3.2$) | ||
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| - | Poichè (<tex>$\rightarrow 3.2$</tex>) | ||
| - | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$ | $$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$ | ||
| - | </tex> | ||
| \\ | \\ | ||
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| - | <tex> | ||
| $$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$ | $$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| si ottiene, ad esempio, per <tex>$E_T$</tex> | si ottiene, ad esempio, per <tex>$E_T$</tex> | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} | $$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} | ||
| {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P} | {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P} | ||
| (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$ | (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | Osservando che per <tex>$T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$</tex> si ha | ||
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| + | Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha | ||
| \\ | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$ | $$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| si ottiene infine | si ottiene infine | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2} | $$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2} | ||
| +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$ | +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| Analogamente si ricava | Analogamente si ricava | ||
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| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$ | $$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$ | ||
| - | </tex> | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | + | Si noti che $TdS=0$ definisce una [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|trasformazione adiabatica]]. |
| - | Si noti che <tex>$TdS=0$</tex> definisce una [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|trasformazione adiabatica]]. | + | |
| Ne segue | Ne segue | ||
| che per una tale trasformazione | che per una tale trasformazione | ||
| \\ | \\ | ||
| - | \\ | ||
| - | <tex> | ||
| $$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P} {\rm o anche } | $$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P} {\rm o anche } | ||
| \nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$ | \nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$ | ||
| - | </tex> | ||
| - | \\ | ||
| \\ | \\ | ||
| - | Se <tex>$P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$</tex>, pari quindi a 0.4 nel caso | + | Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$, pari quindi a 0.4 nel caso |
| di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole | di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole | ||
| biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un | biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un | ||
| Linea 181: | Linea 126: | ||
| della temperatura. | della temperatura. | ||
| - | Si noti infine che per <tex>$P_r>>P_g$</tex>, come tende ad avvenire in | + | Si noti infine che per $P_r>>P_g$, come tende ad avvenire in |
| - | strutture stellari di massa molto grande,<tex>$\nabla_{ad} \rightarrow | + | strutture stellari di massa molto grande,$\nabla_{ad} \rightarrow |
| - | 0.25$</tex>. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente | + | 0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente |
| adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si | adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si | ||
| comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale | comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale | ||
| Linea 190: | Linea 135: | ||
| osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per | osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per | ||
| la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del | la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del | ||
| - | viriale (<tex>$\rightarrow 4.1$</tex>) tale stabilità richiede | + | viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede |
| - | <tex>$$2T+\Omega=0$$</tex> | + | $$2T+\Omega=0$$ |
| dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle | dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle | ||
| - | che compongono la struttura e <tex>$\Omega$</tex> è l'energia di legame. | + | che compongono la struttura e $\Omega$ è l'energia di legame. |
| La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata | La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata | ||
| in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle | in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle | ||
| - | particelle: <tex>$dT=-d\Omega /2$</tex>. In un gas monoatomico, quindi con 3 | + | particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, quindi con 3 |
| gradi di libertà, tutta l'energia guadagnata dal gas va in | gradi di libertà, tutta l'energia guadagnata dal gas va in | ||
| - | energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia (<tex>$d\Omega/2$</tex>) | + | energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/2$) |
| per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi | per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi | ||
| di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica, | di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica, | ||
| Linea 209: | Linea 154: | ||
| l'instabilità. | l'instabilità. | ||
| - | Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite <tex>$\gamma | + | Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma |
| - | =C_P/C_V=d(logP/dlog\rho)_{ad}=1/(1-\nabla_{ad})= 1+2/N$</tex>, con N | + | =C_P/C_V$ $=d(logP/dlog\rho)_{ad}$ $=1/(1-\nabla_{ad})$ $= 1+2/N$, con N |
| gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto | gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto | ||
| - | monoatomico risulta <tex>$\gamma=5/3$</tex>, per la radiazione <tex>$\gamma=4/3$</tex> e | + | monoatomico risulta $\gamma=5/3$, per la radiazione $\gamma=4/3$ e |
| - | la stabilità richiede <tex>$\gamma>4/3$</tex>. | + | la stabilità richiede $\gamma>4/3$. |
| - | \\ | + | </WRAP> |
| \\ | \\ | ||
| <fbl> | <fbl> | ||
| - | \\ | ||
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| ~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ | ||
c02/materia_in_condizioni_stellari.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:21 da marco
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