c02:materia_in_condizioni_stellari
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c02:materia_in_condizioni_stellari [23/09/2010 16:22] – refusi - marco | c02:materia_in_condizioni_stellari [10/05/2023 15:15] (versione attuale) – sistemate alcune formule marco | ||
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | Dalla usuale formulazione del [[wp.it> | ||
+ | indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema | ||
+ | termodinamico, | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\delta Q = dU + pdV$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | ove appare la variabile // | ||
+ | sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia | ||
+ | è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più | ||
+ | appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per | ||
+ | grammo di materia | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | ove l' | ||
+ | grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per | ||
+ | $\rho$ | ||
+ | le già citate espressioni riguardanti l' | ||
+ | unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito | ||
+ | dalle tre variabili // | ||
+ | fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico | ||
+ | non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le | ||
+ | precedenti relazioni la pressione P va intesa come pressione | ||
+ | totale, somma dunque delle pressioni parziali di gas e radiazione. | ||
+ | |||
+ | La termodinamica ci assicura anche che per | ||
+ | // | ||
+ | reversibili]]//, | ||
+ | stati di equilibrio e nelle quali restano quindi definite istante | ||
+ | per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto | ||
+ | resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it> | ||
+ | relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente | ||
+ | il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso | ||
+ | dell' | ||
+ | generale porre il primo principio della termodinamica nella forma | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili | ||
+ | indipendenti, | ||
+ | forma | ||
+ | \\ | ||
+ | $$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | con | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $C_P=T(dS/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $E_T=T(dS/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Nel caso generale la valutazione di questi due coefficienti riposa | ||
+ | su opportune e complesse valutazioni sullo stato energetico del | ||
+ | sistema, che tengano nel dovuto conto non solo il grado di | ||
+ | ionizzazione, | ||
+ | livelli eccitati, la presenza di eventuali legami molecolari etc. | ||
+ | Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono | ||
+ | in genere forniti al programma assieme all' | ||
+ | ($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità | ||
+ | ($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della | ||
+ | materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle | ||
+ | variabili di stato $\rho$ e T. | ||
+ | |||
+ | Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro | ||
+ | esplicitare la dipendenza dell' | ||
+ | di stato e fare uso dell' | ||
+ | analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri | ||
+ | di stato P e T, il [[wp.it> | ||
+ | fornisce | ||
+ | \\ | ||
+ | $$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | e quindi | ||
+ | \\ | ||
+ | $$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Poichè ($\rightarrow 3.2$) | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | si ottiene, ad esempio, per $E_T$ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} | ||
+ | {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P} | ||
+ | (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha | ||
+ | \\ | ||
+ | $$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | si ottiene infine | ||
+ | \\ | ||
+ | $$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2} | ||
+ | +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Analogamente si ricava | ||
+ | \\ | ||
+ | $$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Si noti che $TdS=0$ definisce una [[wp.it> | ||
+ | Ne segue | ||
+ | che per una tale trasformazione | ||
+ | \\ | ||
+ | $$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P}$$ o anche | ||
+ | $$\nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/ | ||
+ | di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole | ||
+ | biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un | ||
+ | gas perfetto monoatomico realizza il massimo possibile gradiente | ||
+ | adiabatico. In tal caso infatti, e solo in tal caso, tutto il | ||
+ | lavoro assorbito in una compressione adiabatica va in energia | ||
+ | cinetica delle particelle e nel corrispondente innalzamento della | ||
+ | temperatura. Ove esistano gradi di libertà interni (quali | ||
+ | molecole, ionizzazioni, | ||
+ | sarà ripartito tra questi, con conseguente minor innalzamento | ||
+ | della temperatura. | ||
+ | |||
+ | Si noti infine che per $P_r>> | ||
+ | strutture stellari di massa molto grande, | ||
+ | 0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente | ||
+ | adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si | ||
+ | comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale | ||
+ | comportamento corrisponde alle due direzioni di polarizzazione per | ||
+ | ognuna delle tre direzioni di propagazione del fotone. Da questa | ||
+ | osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per | ||
+ | la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del | ||
+ | viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede | ||
+ | $$2T+\Omega=0$$ | ||
+ | dove T è l' | ||
+ | che compongono la struttura e $\Omega$ è l' | ||
+ | |||
+ | La stabilità richiede quindi che metà dell' | ||
+ | in una contrazione sia trasferita all' | ||
+ | particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, | ||
+ | gradi di libertà, | ||
+ | energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/ | ||
+ | per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi | ||
+ | di libertà se metà dell' | ||
+ | altrettanta energia deve andare negli altri gradi di libertà del | ||
+ | sistema. Non resterebbe quindi energia disponibile per sopperire | ||
+ | alle perdite per radiazione, e questo è chiaramente | ||
+ | incompatibile con la stabilità della struttura. Il predominare | ||
+ | della pressione di radiazione porta quindi la struttura verso | ||
+ | l' | ||
+ | |||
+ | Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma | ||
+ | =C_P/C_V$ $=d(logP/ | ||
+ | gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto | ||
+ | monoatomico risulta $\gamma=5/ | ||
+ | la stabilità richiede $\gamma> | ||
+ | </ | ||
+ | \\ | ||
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+ | ~~DISQUS~~ |