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c02:materia_in_condizioni_stellari

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c02:materia_in_condizioni_stellari [23/09/2010 16:22] – refusi - marcoc02:materia_in_condizioni_stellari [10/05/2023 15:15] (versione attuale) – sistemate alcune formule marco
Linea 1: Linea 1:
 +====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ======
  
 +<WRAP justify>
 +Dalla usuale formulazione del [[wp.it>primo principio della termodinamica]],
 +indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema
 +termodinamico, si ha
 +\\
 +$$\delta Q = dU + pdV$$
 +\\
 +ove appare la variabile //estensiva// V = volume occupato dal
 +sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia
 +è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più
 +appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per
 +grammo di materia
 +\\
 +$$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
 +\\
 +ove l'energia interna U e' ora da intendersi come  riferita al
 +grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per 
 +$\rho$
 +le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per
 +unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito
 +dalle tre variabili //intensive// T, P e $\rho$, 
 +fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico
 +non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le
 +precedenti relazioni la pressione P va intesa come pressione
 +totale, somma dunque delle pressioni parziali di gas e radiazione.
 +
 +La termodinamica ci assicura anche che per 
 +//[[wp.it>Trasformazione_reversibile|trasformazioni
 +reversibili]]//, cioè per trasformazioni che si sviluppano lungo
 +stati di equilibrio e nelle quali restano quindi definite istante
 +per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto
 +resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it>entropia]]) dalla
 +relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente
 +il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso
 +dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in
 +generale porre il primo principio della termodinamica nella forma
 +\\
 +$$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
 +\\
 +Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili
 +indipendenti, il bilancio energetico deve potersi portare nella
 +forma
 +\\
 +$$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$
 +\\
 +con
 +\\
 +\\
 +$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$ calore specifico a pressione costante
 +\\
 +\\
 +$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$ calore specifico scambiato in una compressione isoterma.\\
 +\\
 +\\
 +Nel caso generale la valutazione di questi due coefficienti riposa
 +su opportune e complesse valutazioni sullo stato energetico del
 +sistema, che tengano nel dovuto conto non solo il grado di
 +ionizzazione, ma anche la distribuzione degli elettroni nei  vari
 +livelli eccitati, la presenza di eventuali legami molecolari etc.
 +Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono
 +in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato
 +($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità 
 +($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della
 +materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle
 +variabili di stato $\rho$ e T.
 +
 +Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro
 +esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri
 +di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare
 +analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri
 +di stato P e T, il [[wp.it>Primo_principio_della_termodinamica|primo principio della termodinamica]]
 +fornisce
 +\\
 +$$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$
 +\\
 +e quindi
 +\\
 +$$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$
 +\\
 +$$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$
 +\\
 +Poichè ($\rightarrow 3.2$)
 +\\
 +$$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$
 +\\
 +$$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$
 +\\
 +si ottiene, ad esempio, per $E_T$
 +\\
 +$$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho}
 +{\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P}
 +    (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$
 +\\
 +Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha
 +\\
 +$$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$
 +\\
 +si ottiene infine
 +\\
 +$$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2}
 ++\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$
 +\\
 +Analogamente si ricava
 +\\
 +$$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$
 +\\
 +Si noti che $TdS=0$ definisce una [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|trasformazione adiabatica]]. 
 +Ne segue
 +che per una tale trasformazione
 +\\
 +$$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P}$$ o anche
 +$$\nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$
 +\\
 +Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$, pari quindi a 0.4 nel caso
 +di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole
 +biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un
 +gas perfetto monoatomico realizza il massimo possibile gradiente
 +adiabatico. In tal caso infatti, e solo in tal caso, tutto il
 +lavoro assorbito in una compressione adiabatica va in energia
 +cinetica delle particelle e nel corrispondente innalzamento della
 +temperatura. Ove esistano gradi di libertà interni (quali
 +molecole, ionizzazioni, eccitazioni elettroniche) parte del lavoro
 +sarà ripartito tra questi, con conseguente minor innalzamento
 +della temperatura.
 +
 +Si noti infine che per $P_r>>P_g$, come tende ad avvenire in
 +strutture stellari di massa molto grande,$\nabla_{ad} \rightarrow
 +0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente
 +adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si
 +comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale
 +comportamento corrisponde alle due direzioni di polarizzazione per
 +ognuna delle tre direzioni di propagazione del fotone. Da questa
 +osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per
 +la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del
 +viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede
 +$$2T+\Omega=0$$
 +dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle
 +che compongono la struttura e $\Omega$ è l'energia di legame.
 +
 +La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata
 +in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle
 +particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, quindi con 3
 +gradi di libertà,  tutta l'energia guadagnata dal gas va in
 +energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/2$)
 +per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi
 +di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica,
 +altrettanta energia deve andare negli altri gradi di libertà del
 +sistema. Non resterebbe quindi energia disponibile per sopperire
 +alle perdite per radiazione, e questo è chiaramente
 +incompatibile con la stabilità della struttura. Il predominare
 +della pressione di radiazione porta quindi la struttura verso
 +l'instabilità.
 +
 +Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma
 +=C_P/C_V$ $=d(logP/dlog\rho)_{ad}$ $=1/(1-\nabla_{ad})$ $= 1+2/N$, con N
 +gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto
 +monoatomico risulta $\gamma=5/3$, per la radiazione $\gamma=4/3$ e
 +la stabilità richiede $\gamma>4/3$.
 +</WRAP>
 +\\
 +----
 +~~DISQUS~~

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