Astrofisica Stellare

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c02:materia_in_condizioni_stellari

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c02:materia_in_condizioni_stellari [23/09/2010 16:23] – refusi - marcoc02:materia_in_condizioni_stellari [10/05/2023 15:15] (versione attuale) – sistemate alcune formule marco
Linea 1: Linea 1:
 ====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ====== ====== A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità ======
  
 +<WRAP justify>
 Dalla usuale formulazione del [[wp.it>primo principio della termodinamica]], Dalla usuale formulazione del [[wp.it>primo principio della termodinamica]],
-indicando con <tex>$\delta Q$</tex> il calore fornito ad un generico sistema+indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema
 termodinamico, si ha termodinamico, si ha
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\delta Q = dU + pdV$$ $$\delta Q = dU + pdV$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 ove appare la variabile //estensiva// V = volume occupato dal ove appare la variabile //estensiva// V = volume occupato dal
 sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia
-è pari a <tex>$1/\rho$</tex>, si risale immediatamente ad una più+è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più
 appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per
 grammo di materia grammo di materia
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ $$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 ove l'energia interna U e' ora da intendersi come  riferita al ove l'energia interna U e' ora da intendersi come  riferita al
 grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per  grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per 
-<tex>$\rho$</tex>+$\rho$
 le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per
 unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito
-dalle tre variabili //intensive// T, P e <tex>$\rho$</tex>, +dalle tre variabili //intensive// T, P e $\rho$, 
 fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico
 non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le
Linea 41: Linea 33:
 per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto
 resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it>entropia]]) dalla resta collegato alla funzione di stato S ([[wp.it>entropia]]) dalla
-relazione <tex>$\delta Q = T\delta S$</tex>. Poichè questo è ovviamente+relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente
 il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso
 dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in
 generale porre il primo principio della termodinamica nella forma generale porre il primo principio della termodinamica nella forma
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$ $$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili
Linea 56: Linea 44:
 forma forma
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$ $$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 con con
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-<tex>$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$</tex> calore specifico a pressione costante+$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$ calore specifico a pressione costante
 \\ \\
 \\ \\
-<tex>$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$</tex> calore specifico scambiato in una compressione isoterma.\\+$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$ calore specifico scambiato in una compressione isoterma.\\
 \\ \\
 \\ \\
Linea 78: Linea 62:
 Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono
 in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato
-(<tex>$\rightarrow A3.2$</tex>) ed ai coefficienti di opacità  +($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità  
-(<tex>$\rightarrow A3.3$</tex>) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della+($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della
 materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle
-variabili di stato <tex>$\rho$</tex> e T.+variabili di stato $\rho$ e T.
  
 Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro
 esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri
 di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare
-analiticamente i valori di <tex>$C_P$</tex> e <tex>$E_T$</tex>. Scegliendo come parametri+analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri
 di stato P e T, il [[wp.it>Primo_principio_della_termodinamica|primo principio della termodinamica]] di stato P e T, il [[wp.it>Primo_principio_della_termodinamica|primo principio della termodinamica]]
 fornisce fornisce
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$ $$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 e quindi e quindi
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$ $$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$
-</tex> 
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$ $$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$
- 
-</tex> 
 \\ \\
 +Poichè ($\rightarrow 3.2$)
 \\ \\
-Poichè (<tex>$\rightarrow 3.2$</tex>) 
-\\ 
-\\ 
-<tex> 
 $$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$ $$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$
-</tex> 
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$ $$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$
-</tex> 
-\\ 
-\\ 
-si ottiene, ad esempio, per <tex>$E_T$</tex> 
 \\ \\
 +si ottiene, ad esempio, per $E_T$
 \\ \\
-<tex> 
 $$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} $$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho}
 {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P} {\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P}
     (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$     (\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$
-</tex> 
 \\ \\
 +Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha
 \\ \\
-Osservando che per <tex>$T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$</tex> si ha 
-\\ 
-\\ 
-<tex> 
 $$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$ $$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 si ottiene infine si ottiene infine
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2} $$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2}
 +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$ +\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 Analogamente si ricava Analogamente si ricava
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$ $$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$
-</tex> 
 \\ \\
-\\ +Si noti che $TdS=0$ definisce una [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|trasformazione adiabatica]]. 
-Si noti che <tex>$TdS=0$</tex> definisce una [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|trasformazione adiabatica]]. +
 Ne segue Ne segue
 che per una tale trasformazione che per una tale trasformazione
 \\ \\
 +$$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P}$$ o anche
 +$$\nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$
 \\ \\
-<tex> +Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$, pari quindi a 0.4 nel caso
-$$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P} {\rm o  anche } +
-\nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-Se <tex>$P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$</tex>, pari quindi a 0.4 nel caso+
 di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole
 biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un
Linea 181: Linea 126:
 della temperatura. della temperatura.
  
-Si noti infine che per <tex>$P_r>>P_g$</tex>, come tende ad avvenire in +Si noti infine che per $P_r>>P_g$, come tende ad avvenire in 
-strutture stellari di massa molto grande,<tex>$\nabla_{ad} \rightarrow +strutture stellari di massa molto grande,$\nabla_{ad} \rightarrow 
-0.25$</tex>. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente+0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente
 adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si
 comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale
Linea 190: Linea 135:
 osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per
 la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del
-viriale (<tex>$\rightarrow 4.1$</tex>) tale stabilità richiede +viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede 
-<tex>$$2T+\Omega=0$$</tex>+$$2T+\Omega=0$$
 dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle
-che compongono la struttura e <tex>$\Omega$</tex> è l'energia di legame.+che compongono la struttura e $\Omega$ è l'energia di legame.
  
 La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata
 in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle
-particelle: <tex>$dT=-d\Omega /2$</tex>. In un gas monoatomico, quindi con 3+particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, quindi con 3
 gradi di libertà,  tutta l'energia guadagnata dal gas va in gradi di libertà,  tutta l'energia guadagnata dal gas va in
-energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia (<tex>$d\Omega/2$</tex>)+energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/2$)
 per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi
 di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica, di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica,
Linea 209: Linea 154:
 l'instabilità. l'instabilità.
  
-Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite <tex>$\gamma +Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma 
-=C_P/C_V=d(logP/dlog\rho)_{ad}=1/(1-\nabla_{ad})= 1+2/N$</tex>, con N+=C_P/C_V$ $=d(logP/dlog\rho)_{ad}$ $=1/(1-\nabla_{ad})$ $= 1+2/N$, con N
 gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto
-monoatomico risulta <tex>$\gamma=5/3$</tex>, per la radiazione <tex>$\gamma=4/3$</tex> e +monoatomico risulta $\gamma=5/3$, per la radiazione $\gamma=4/3$ e 
-la stabilità richiede <tex>$\gamma>4/3$</tex>. +la stabilità richiede $\gamma>4/3$. 
-\\ +</WRAP>
-\\ +
-<fbl> +
-\\+
 \\ \\
 ---- ----
 ~~DISQUS~~ ~~DISQUS~~
c02/materia_in_condizioni_stellari.1285251834.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)
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