Questa è una vecchia versione del documento!
A2.4 Termodinamica della materia in condizioni stellari. Il gradiente adiabatico ed il criterio di stabilità
Dalla usuale formulazione del primo principio della termodinamica,
indicando con $\delta Q$ il calore fornito ad un generico sistema
termodinamico, si ha
$$\delta Q = dU + pdV$$
ove appare la variabile estensiva V = volume occupato dal
sistema. Osservando che il volume occupato da 1 grammo di materia
è pari a $1/\rho$, si risale immediatamente ad una più
appropriata formulazione riguardante il bilancio termico per
grammo di materia
$$\delta Q = dU + pd(\frac {1}{\rho}) = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
ove l'energia interna U e' ora da intendersi come riferita al
grammo di materia e immediatamente ricavabile dividendo per
$\rho$
le già citate espressioni riguardanti l'energia interna per
unità di volume. Lo stato termodinamico resta così definito
dalle tre variabili intensive T, P e $\rho$,
fornendo una rappresentazione adeguata anche ad un generico fluido termodinamico
non soggetto ad artificiali delimitazioni. Si noti che in tutte le
precedenti relazioni la pressione P va intesa come pressione
totale, somma dunque delle pressioni parziali di gas e radiazione.
La termodinamica ci assicura anche che per
trasformazioni
reversibili, cioè per trasformazioni che si sviluppano lungo
stati di equilibrio e nelle quali restano quindi definite istante
per istante le variabili di stato, il calore assorbito o ceduto
resta collegato alla funzione di stato S (entropia) dalla
relazione $\delta Q = T\delta S$. Poiché questo è ovviamente
il caso per le trasformazioni subite dal plasma stellare nel corso
dell'evoluzione di strutture stellari in equilibrio, potremo in
generale porre il primo principio della termodinamica nella forma
$$\delta Q = T \delta S = dU - \frac {P}{\rho^2}d\rho$$
Poiché S è funzione di stato, assumendo P e T come variabili
indipendenti, il bilancio energetico deve potersi portare nella
forma
$$Tds = T [(\frac {\partial S}{\partial T})_P+(\frac {\partial S}{\partial P})_T]= C_P dT - E_T dP$$
con
$C_P=T(dS/dT)_P=(\delta Q/dT)_P=$ calore specifico a pressione costante
$E_T=T(dS/dP)_T=(\delta Q/dT)_T=$ calore specifico scambiato in una compressione isoterma.
Nel caso generale la valutazione di questi due coefficienti riposa
su opportune e complesse valutazioni sullo stato energetico del
sistema, che tengano nel dovuto conto non solo il grado di
ionizzazione, ma anche la distribuzione degli elettroni nei vari
livelli eccitati, la presenza di eventuali legami molecolari etc.
Stante la complessità dei relativi calcoli, questi dati vengono
in genere forniti al programma assieme all'equazione di stato
($\rightarrow A3.2$) ed ai coefficienti di opacità
($\rightarrow A3.3$) sotto forma tabulare, per ogni assunta composizione della
materia stellare e per una opportuna griglia di valori delle
variabili di stato $\rho$ e T.
Nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione, basta peraltro
esplicitare la dipendenza dell'energia interna U dai parametri
di stato e fare uso dell'equazione di stato per ricavare
analiticamente i valori di $C_P$ e $E_T$. Scegliendo come parametri
di stato P e T, il primo principio della termodinamica
fornisce
$$TdS=(\frac {\partial U}{\partial P})_TdP +(\frac {\partial U}{\partial T})_PdT - \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_TdP+[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_PdT]$$
e quindi
$$C_P=(\frac {\partial U}{\partial T})_P+ \frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial T})_P]$$
$$E_P= -(\frac {\partial U}{\partial P})_T+\frac {P}{\rho^2}[(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T]$$
Poichè ($\rightarrow 3.2$)
$$P=P_g+P_r= \frac {k}{\mu H}\rho T +\frac {a}{3}T^4$$
$$U=U_g+U_r= \frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}P_g+3P_r)$$
si ottiene, ad esempio, per <tex>$E_T$</tex>
$$E_T= (\frac {N}{2}P_g+3P_r)\frac {1}{\rho^2}(\frac {\partial \rho}
{\partial P})_T - \frac {1}{\rho}[\frac {\partial}{\partial P}
(\frac {N}{2}P_g+3P_r)_T]+\frac {P}{\rho^2}(\frac {\partial \rho} {\partial P})_T$$
Osservando che per $T=cost$, $dP_r=0$ e $dP=dP_g$ si ha
$$(\frac {\partial \rho}{\partial P})_T=(\frac {\partial \rho}{\partial P_g})_T= \frac {\mu H}{kT}= \frac {\rho}{P_g}$$
si ottiene infine
$$E_T=\frac {1}{\rho}(\frac {N}{2}+3\frac {P_r}{P_g}-\frac {N}{2}
+\frac {P}{P_g})=\frac {1}{\rho}(4\frac {P_r}{P_g}+1)$$
Analogamente si ricava
$$C_P=\frac {1}{\rho T}(\frac {N+2}{2}P_g+20 P_r+16\frac {P_r^2}{P_g})$$
Si noti che $TdS=0$ definisce una trasformazione adiabatica.
Ne segue
che per una tale trasformazione
$$(\frac {dT}{dP})_{ad}= \frac {E_T}{C_P} {\rm o anche }
\nabla_{ad}= \frac {dlogT}{dlogP}=\frac {P}{T}\frac {E_T}{C_P}$$
Se $P_r << P_g$, $\nabla_{ad}=2/(N+2)$, pari quindi a 0.4 nel caso
di un gas perfetto monoatomico (N=3) e a 0.3 nel caso di molecole
biatomica (N=5). Più in generale, è facile comprendere che un
gas perfetto monoatomico realizza il massimo possibile gradiente
adiabatico. In tal caso infatti, e solo in tal caso, tutto il
lavoro assorbito in una compressione adiabatica va in energia
cinetica delle particelle e nel corrispondente innalzamento della
temperatura. Ove esistano gradi di libertà interni (quali
molecole, ionizzazioni, eccitazioni elettroniche) parte del lavoro
sarà ripartito tra questi, con conseguente minor innalzamento
della temperatura.
Si noti infine che per $P_r>>P_g$, come tende ad avvenire in strutture stellari di massa molto grande,$\nabla_{ad} \rightarrow 0.25$. La radiazione tende quindi a diminuire il gradiente adiabatico, favorendo la convezione. La radiazione dunque si comporta come un gas con 6 gradi di libertà, ed in effetti tale comportamento corrisponde alle due direzioni di polarizzazione per ognuna delle tre direzioni di propagazione del fotone. Da questa osservazione è facile giungere ad un criterio termodinamico per la stabilità di una struttura stellare. Per il teorema del viriale ($\rightarrow 4.1$) tale stabilità richiede $$2T+\Omega=0$$ dove T è l'energia cinetica totale posseduta dalle particelle che compongono la struttura e $\Omega$ è l'energia di legame.
La stabilità richiede quindi che metà dell'energia guadagnata in una contrazione sia trasferita all'energia cinetica delle particelle: $dT=-d\Omega /2$. In un gas monoatomico, quindi con 3 gradi di libertà, tutta l'energia guadagnata dal gas va in energia cinetica, e resta quindi altrettanta energia ($d\Omega/2$) per sopperire alle perdite per radiazione. In un gas con 6 gradi di libertà se metà dell'energia va in energia cinetica, altrettanta energia deve andare negli altri gradi di libertà del sistema. Non resterebbe quindi energia disponibile per sopperire alle perdite per radiazione, e questo è chiaramente incompatibile con la stabilità della struttura. Il predominare della pressione di radiazione porta quindi la struttura verso l'instabilità.
Tale criterio è sovente espresso in letteratura tramite $\gamma =C_P/C_V$ $=d(logP/dlog\rho)_{ad}$ $=1/(1-\nabla_{ad})$ $= 1+2/N$, con N gradi di libertà delle particelle. Per un gas perfetto monoatomico risulta $\gamma=5/3$, per la radiazione $\gamma=4/3$ e la stabilità richiede $\gamma>4/3$.
<fbl>