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2.2 La convezione ed il criterio di Schwarzschild. Overshooting

Le equazioni dell'equilibrio di una struttura stellare discusse nel punto precedente sono state ricavate sotto la condizione di assenza di trasporto convettivo. L'evidenza osservativa mostra peraltro che moti convettivi sono presenti alla superficie di molte stelle e, in particolare, alla superficie del Sole. La trattazione dovrà quindi essere estesa per tener conto anche di una tale evenienza. Conviene trattare tale problema in due passi successivi: questa sezione sarà dedicata alla identificazione delle regioni di una struttura stellare che risultano instabili per moti convettivi. Nella prossima sezione discuteremo il problema del trasporto convettivo al fine di ricavare le condizioni sul gradiente di temperatura richieste dalle equazioni di equilibrio.

L'identificazioni delle regioni convettive riposa sul Criterio di Schwarzschild, che in sostanza risulta una applicazione dell'antico principio di Archimede per il quale un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al peso del fluido spostato. Per giungere alla formulazione di tale principio ricordiamo innanzitutto che in assenza di moti convettivi il gradiente di temperatura resta determinato dal già discusso gradiente radiativo (dT/dr)rad. Alla formulazione di tale gradiente sin qui adottata preferiremo nel seguito la parallela definizione (dT/dP) rad, subito ricavabile coniugando la prima con l'equazione dell'equilibrio idrostatico (dT/dP = dT/dr dr/dP). La ragione di tale preferenza è duplice. Innanzitutto dT/dP è una relazione tra grandezze termodinamiche, utilmente confrontabile con le grandezze termodinamiche proprie del gas stellare. L'assunzione di dT/dP libera inoltre la discussione dalla fastidiosa occorrenza di un dT/dR per definizione negativo (la temperatura cresce verso l'interno) che complicherebbe formalmente la discussione.

Partendo dunque dall'evidenza che in assenza di convenzione il gradiente di temperatura locale deve essere pari a quello radiativo, possiamo domandarci se in tali condizioni la zona risulta o meno stabile rispetto alla convezione. A tale scopo dobbiamo domandarci se piccole fluttuazioni delta R nella posizione di un elemento di materia inneschino o meno un moto convettivo. A seguito dello spostamento l'elemento varierà la propria pressione adeguandola a quella dell'ambiente con tempi scala meccanici. Gli scambi di calore avvengono invece sui più lunghi tempi scala termodinamici, talchè potremo assumere che l'espansione (se assumiamo uno spostamento verso l'alto, a pressione minore) o la compressione risultino adiabatiche.

figura_02_02.jpg

Figura 2.2 In un ambiente a gradiente radiativo, se tale gradiente risulta maggiore di quello adiabatico (1) un elemento di materia che si sposti adiabaticamente dalla posizione iniziale si trova più caldo dell'ambiente a minori pressioni (spostamento verso l'alto) o più freddo a pressioni maggiori (spostamento verso l'interno). In tutti e due i casi l'elemento e' stimolato a proseguire il moto innescando una instabilità convettiva. Nel caso in cui il gradiente radiativo risulti minore di quello adiabatico (2) si manifesta invece una forza di richiamo che rende l'ambiente stabile.

Dalla figura 2.2 si ricava immediatamente che se il gradiente locale (assunto come radiativo) è minore del gradiente adiabatico dT/dP (caso 2), per uno spostamento verso l'alto l'elemento risulta più freddo dell'ambiente, quindi più denso e soggetto ad una forza di richiamo verso la posizione originale. Analoghe considerazioni valgono per uno spostamento verso il basso. Se ne conclude che in tali condizioni la zona è stabile. Ripetendo il ragionamento nel caso di un gradiente radiativo maggiore di quello adiabatico (caso 1) si giunge invece alla conclusione che in tale situazione la zona è instabile, talchè si giunge alla formulazione del Criterio di Schwarzschild che stabilisce che in una struttura stellare sono instabili per convezione tutti quegli strati per i quali risulta


[8] (dT/dP)_rad  > (dT/dP)_ad


A tale formulazione viene talora preferita la forma logaritmica


[9] ∇rad > ∇ad

dove ∇ = P/T dT/dP = dlogT / dlogP e ∇ad = 0.4 per un gas perfetto monoatomico (right A2.4).

Si deve peraltro notare che, a rigor di termini, il criterio di Schwarzschild identifica le zone in cui l'instabiltà convettiva è stimolata ed all'interno delle quali sono attivi moti convettivi con velocità che saranno determinate da complessi meccanismi legati anche agli scambi termici ed alla viscosità del mezzo. E' così evidente che il frenamento di tali moti deve avvenire nella zona formalmente stabile per convezione, laddove si manifesta una forza di richiamo. Ne segue che oltre i limiti definiti dal criterio di Schwarzschild deve esistere una zona di penetrazione degli elementi convettivi, indicata come zona di overshooting (fig. 2.3).

figura_02_03.jpg

Figura 2.3 Nella regione in cui è violato il criterio di stabilità di Schwarzschild un elemento di convezione è soggetto a forze che ne favoriscono il moto. Il frenamento di tali elementi dovrà quindi avvenire nelle zone di stabilità al bordo della zona precedente, producendo un rimescolamento di materia che si estende al di là dei limiti formali di stabilità (overshooting).

Le dimensioni di tale zona sono un problema astrofisico ancora aperto. L'approccio “canonico” assume come trascurabili tali dimensioni, ma sull'argomento esiste un ampio dibattito e alcune valutazioni evolutive assumono tali dimensioni come un parametro libero da determinare attraverso il confronto con le osservazioni.

Notiamo infine che la formulazione del gradiente radiativo, unita al criterio di Schwarzschild, consente di operare alcune previsioni generali sullo sviluppo della convezione nelle strutture stellari. Il valore del gradiente radiativo risulta infatti proporzionale all'opacità ed al flusso di energia e se ne può dedurre che alti valori di uno di questi due parametri possano condurre il gradiente radiativo a superare quello adiabatico. L'opacità sale a valori estremamente elevati negli strati in cui l'idrogeno è in stato di ionizzazione parziale, per il semplice motivo che i fotoni vengono facilmente catturati, ad esempio, per effetto fotoelettrico da elettroni che sono già in gran parte su stati eccitati (right 3.3). Ne segue l'interessante previsione secondo la quale tutte le stelle con temperatura superficiale sufficientemente minore della temperatura di ionizzazione dell'idrogeno debbano necessariamente sviluppare regioni convettive nelle zone più esterne (inviluppi convettivi), che devono contemporaneamente essere assenti nelle stella a più alta temperatura superficiale. La transizione si pone attorno a temperature effettive T_e approx 10 000 K.

A fianco di tale “convezione da opacità” si potrà avere una “convezione da flusso” che dipenderà da quanto i meccanismi di produzione di energia dipendono dalla temperatura. E' infatti subito visto che al crescere di tale dipendenza la produzione di energia si concentra sempre più verso il centro della struttura, facendo crescere i flussi. Nel caso quindi di combustioni nucleari con forte dipendenza dalla temperatura ci attendiamo la presenza di nuclei convettivi. Anticipiamo qui che ad esclusione della catena pp (che scala come T^4) tutte le altre combustioni nucleari hanno dipendenze estremamente elevate (il ciclo CNO scala come T^14 ; i processi 3 alpha come T^ 22) con conseguente presenza di nuclei convettivi.

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c02/p0202.txt · Ultima modifica: 04/08/2017 11:05 da marco