Astrofisica Stellare

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====== 2.2 La convezione ed il criterio di Schwarzschild. Overshooting ======

<WRAP justify>
Le equazioni dell'equilibrio di una struttura stellare discusse
[[c02:p0201|nel punto precedente]] sono state ricavate sotto la condizione di
assenza di trasporto convettivo. L'evidenza osservativa mostra
peraltro che [[wp.it>Convezione|moti convettivi]] sono presenti alla superficie di molte
stelle e, in particolare, alla superficie del [[wp.it>Sole]]. La trattazione
dovrà quindi essere estesa per tener conto anche di una tale
evenienza. Conviene trattare tale problema in due passi
successivi: questa sezione sarà dedicata alla identificazione
delle regioni di una struttura stellare che risultano instabili
per moti convettivi. Nella [[c02:p0203|prossima sezione]] discuteremo il
problema del  //trasporto convettivo//  al fine di ricavare le
condizioni sul gradiente di temperatura richieste dalle
equazioni di equilibrio.

L'identificazioni delle regioni convettive riposa sul //
Criterio di Schwarzschild//, che in sostanza risulta una
applicazione dell'antico [[wp.it>Principio_di_Archimede|principio di Archimede]] per il quale //un
corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al
peso del fluido spostato.// Per giungere  alla formulazione di tale
principio ricordiamo innanzitutto che in assenza di moti
convettivi il gradiente di temperatura resta determinato dal già
discusso  //gradiente radiativo// (dT/dr)<sub>rad</sub>. Alla
formulazione di tale gradiente sin qui adottata preferiremo nel
seguito la parallela definizione (dT/dP) <sub>rad</sub>, subito
ricavabile coniugando la prima con l'equazione dell'equilibrio
idrostatico (dT/dP = dT/dr dr/dP). La ragione di tale preferenza
è duplice. Innanzitutto dT/dP  è  una relazione tra grandezze
termodinamiche, utilmente confrontabile con le grandezze
termodinamiche proprie del gas stellare. L'assunzione di dT/dP
libera inoltre la discussione dalla fastidiosa occorrenza di un
dT/dR per definizione negativo (la temperatura cresce verso
l'interno) che complicherebbe formalmente la discussione.

Partendo dunque dall'evidenza che in assenza di convenzione il
gradiente di temperatura locale deve essere pari a quello
radiativo, possiamo domandarci se in tali condizioni la zona
risulta o meno stabile rispetto alla convezione. A tale scopo
dobbiamo domandarci se piccole fluttuazioni <m>delta R</m> nella
posizione di un elemento di materia inneschino o meno un moto
convettivo. A seguito dello spostamento l'elemento  varierà la
propria pressione adeguandola a quella dell'ambiente con tempi
scala meccanici. Gli scambi di calore avvengono invece sui più
lunghi tempi scala termodinamici, talchè potremo assumere che
l'espansione (se assumiamo uno spostamento verso l'alto, a
pressione minore) o la compressione risultino [[wp.it>Trasformazione_adiabatica|adiabatiche]].
</WRAP>

{{:c02:figura_02_02.jpg?500}}

//**Figura 2.2** In un ambiente a gradiente radiativo, se
tale gradiente risulta maggiore di quello adiabatico (1) un
elemento di materia che si sposti adiabaticamente dalla posizione
iniziale si trova più caldo dell'ambiente a minori pressioni
(spostamento verso l'alto) o più freddo a pressioni maggiori
(spostamento verso l'interno). In tutti e due i casi l'elemento e'
stimolato a proseguire il moto innescando una instabilità
convettiva. Nel caso in cui il gradiente radiativo risulti minore
di quello adiabatico (2) si manifesta invece una forza di richiamo
che rende l'ambiente stabile.//  

<WRAP justify>
Dalla figura 2.2 si ricava immediatamente che se il gradiente
locale (assunto come radiativo) è minore del // gradiente
adiabatico// dT/dP (caso 2), per uno spostamento verso l'alto l'elemento
risulta più freddo dell'ambiente, quindi più denso e soggetto
ad una forza di richiamo verso la posizione originale. Analoghe
considerazioni valgono per uno spostamento verso il basso. Se ne
conclude che in tali condizioni la zona è stabile. Ripetendo il
ragionamento nel caso di un gradiente radiativo maggiore di quello
adiabatico (caso 1) si giunge invece alla conclusione che in tale situazione la
zona è instabile, talchè si giunge alla formulazione del
//Criterio di Schwarzschild// che stabilisce che in una struttura
stellare sono instabili per convezione tutti quegli strati per i
quali risulta

\\
  
[8]   <m>(dT/dP)_rad  > (dT/dP)_ad</m> 
  
\\
A tale formulazione viene talora preferita la forma logaritmica

\\
[9]   ∇<sub>rad</sub>  >  ∇<sub>ad</sub> 
\\
  
dove   ∇ = P/T dT/dP = dlogT / dlogP e   ∇<sub>ad</sub> = 0.4  per
un gas perfetto monoatomico (<m>right A2.4</m>).

Si deve peraltro notare che, a rigor di termini, il criterio di
Schwarzschild identifica le zone in cui l'instabiltà convettiva
è stimolata ed all'interno delle quali sono attivi moti
convettivi con velocità che saranno determinate da complessi
meccanismi legati anche agli scambi termici ed alla [[wp.it>viscosità]]
del mezzo. E' così evidente che il frenamento di tali moti deve
avvenire nella  zona  formalmente stabile per convezione, laddove
si manifesta una forza di richiamo. Ne segue che oltre i limiti
definiti dal criterio di Schwarzschild deve esistere una zona di
penetrazione degli elementi convettivi, indicata come zona di  //
overshooting//  (fig. 2.3).
</WRAP>

{{:c02:figura_02_03.jpg?500}}

//**Figura 2.3** Nella regione in cui è violato il
criterio di stabilità di Schwarzschild un elemento di convezione
è soggetto a forze che ne favoriscono il moto. Il frenamento di
tali elementi dovrà quindi avvenire nelle zone di stabilità al
bordo della zona precedente, producendo un rimescolamento di
materia che si estende al di là dei limiti formali di
stabilità (overshooting).//   

<WRAP justify>
Le dimensioni di tale zona sono un problema astrofisico ancora
aperto. L'approccio "canonico" assume come  trascurabili tali
dimensioni, ma sull'argomento esiste un ampio dibattito e alcune
valutazioni evolutive assumono tali dimensioni come un parametro
libero da determinare attraverso il confronto con le osservazioni.

Notiamo infine che la formulazione del gradiente radiativo, unita
al criterio di Schwarzschild, consente di operare alcune
previsioni generali sullo sviluppo della convezione nelle
strutture stellari. Il valore del gradiente radiativo risulta
infatti  proporzionale all'opacità ed al flusso di energia e se
ne può dedurre che alti valori di uno di questi due parametri
possano condurre il gradiente radiativo a superare quello
adiabatico. L'opacità sale a valori estremamente elevati negli
strati in cui l'idrogeno è in stato di ionizzazione parziale,
per il semplice motivo che i fotoni vengono  facilmente catturati,
ad esempio, per [[wp.it>Effetto_fotoelettrico|effetto fotoelettrico]] da elettroni che sono già
in gran parte su stati eccitati (<m>right 3.3</m>). Ne segue
l'interessante previsione secondo la quale tutte le stelle con
temperatura superficiale sufficientemente minore della temperatura
di ionizzazione dell'idrogeno  debbano necessariamente sviluppare
regioni convettive nelle zone più esterne (//inviluppi
convettivi//), che devono contemporaneamente essere assenti nelle
stella a più alta temperatura superficiale. La transizione si
pone attorno a temperature effettive <m>T_e approx 10 000 K.</m>

A fianco di tale "convezione da opacità" si potrà avere una
"convezione da flusso" che dipenderà da quanto i meccanismi di
produzione di energia dipendono dalla temperatura. E' infatti
subito visto che al crescere di tale dipendenza la produzione di
energia si concentra sempre più verso il centro della
struttura, facendo crescere i flussi. Nel caso quindi di
combustioni nucleari con forte dipendenza dalla temperatura ci
attendiamo la presenza di //nuclei convettivi//. Anticipiamo qui
che ad esclusione della [[wp.it>Catena_protone-protone|catena pp]] (che scala come <m>T^4</m>) tutte le altre
combustioni nucleari hanno dipendenze estremamente elevate (il [[wp.it>Ciclo_CNO|ciclo CNO]]
scala come <m>T^14</m>  ; i [[wp.it>Processo_tre_alfa|processi]] <m>3 alpha</m> come <m>T^ 22</m>) con conseguente
presenza di nuclei convettivi.
</WRAP>
[[c02:p0201|⇐ Torna al paragrafo 2.1]]
[[c02:p0203|⇒ Prosegui al paragrafo 2.3]]
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~~DISQUS~~