c02:p0206
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c02:p0206 [02/05/2014 18:38] – [2.6.1 Integrazione degli strati atmosferici] refuso marco | c02:p0206 [10/05/2023 15:02] (versione attuale) – messe a punto alcune formule marco | ||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
====== 2.6 Metodi di calcolo ====== | ====== 2.6 Metodi di calcolo ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
L' | L' | ||
stellare è dunque retto da un sistema di quattro equazioni | stellare è dunque retto da un sistema di quattro equazioni | ||
Linea 33: | Linea 34: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$ [19] \ \ P_{j+1} - P_j = \frac {g}{\overline \kappa} (\tau_{j+1} -\tau_j)$$ |
- | [19] \ \ P_{j+1} - P_j = \frac {g}{\overline \kappa} (\tau_{j+1} -\tau_j) | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 47: | Linea 46: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex>T = T ( $\tau$, T$_e$ )</ | + | T = T ( $\tau$, T$_e$ ) |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex>P = P ( $\rho$, T )</ | + | P = P ( $\rho$, T ) |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 63: | Linea 62: | ||
(19) fornisce il valore della pressione nel punto j+1 | (19) fornisce il valore della pressione nel punto j+1 | ||
\\ | \\ | ||
+ | $$P_{j+1}= | ||
\\ | \\ | ||
- | < | ||
- | |||
la temperatura nello stesso punto j+1 è fornita dalla | la temperatura nello stesso punto j+1 è fornita dalla | ||
- | <tex>T(\tau, T_e)</ | + | $T(\tau, T_e)$, dall' |
densità e, con essa, il valore | densità e, con essa, il valore | ||
Basta quindi fornire | Basta quindi fornire | ||
Linea 98: | Linea 96: | ||
disponibili i valori di tutte e sei le variabili | disponibili i valori di tutte e sei le variabili | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex>r=R, L_r=L, P, T, \rho, M_r=M</ | + | $$r=R, L_r=L, P, T, \rho, M_r=M$$ |
\\ | \\ | ||
Linea 128: | Linea 126: | ||
Analogamente a quanto già discusso per l' | Analogamente a quanto già discusso per l' | ||
atmosferica, | atmosferica, | ||
- | variabili r, L _r , P, T,<tex>\rho</ | + | variabili r, L _r , P, T,$\rho$ |
- | <tex>\overline \kappa (\rho, T)</ | + | $\overline \kappa (\rho, T)$ |
valori di tutti i coefficienti a secondo membro delle relazioni | valori di tutti i coefficienti a secondo membro delle relazioni | ||
- | precedenti, e per ogni assunto | + | precedenti, e per ogni assunto |
- | M_{r,j}</ | + | M_{r,j}$ le relazioni forniscono il valore delle variabili nel |
mesh j+1. Partendo dal primo mesh, alla base dell' | mesh j+1. Partendo dal primo mesh, alla base dell' | ||
l' | l' | ||
Linea 150: | Linea 148: | ||
Perchè il risultato possa rappresentare una stella occorre e | Perchè il risultato possa rappresentare una stella occorre e | ||
- | basta che per <tex>M_r = 0</ | + | basta che per $M_r = 0$ |
- | <tex>L _r = 0</ | + | $L _r = 0$. In linea di principio si potrebbe pensare di |
identificare la soluzione variando opportunamente i valori di L e | identificare la soluzione variando opportunamente i valori di L e | ||
T< | T< | ||
centrali. Nella pratica ciò non è consentito dalla eccessiva | centrali. Nella pratica ciò non è consentito dalla eccessiva | ||
- | sensibilità delle soluzioni a <tex>M _r = 0</ | + | sensibilità delle soluzioni a $M _r = 0$ dalle condizioni |
superficiali. Il metodo del " | superficiali. Il metodo del " | ||
questa difficoltà procedendo ad una integrazione dall' esterno a | questa difficoltà procedendo ad una integrazione dall' esterno a | ||
Linea 161: | Linea 159: | ||
l' | l' | ||
M _F// (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una | M _F// (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una | ||
- | quadrupletta di valori | + | quadrupletta di valori |
" | " | ||
dell' | dell' | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | $$L, T _e \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e )$$ |
- | < | + | |
- | L, T _e \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e ) | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della | ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della | ||
quadrupletta dai due assunti valori di prova L e T< | quadrupletta dai due assunti valori di prova L e T< | ||
poi ad una integrazione dal centro imponendo in tale punto | poi ad una integrazione dal centro imponendo in tale punto | ||
- | <tex>r = L _r = 0</ | + | $r = L _r = 0$ e assumendo due valori di prova P< |
nello stesso punto di fitting un' | nello stesso punto di fitting un' | ||
- | <tex>r ^i , L _r^i , P ^i , T ^i</ | + | $r ^i , L _r^i , P ^i , T ^i$ , |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$P _c , T _c \Rightarrow r^i (P _c , T _c ), L _r^i (P _c , T _c ), P ^i (P _c , T _c ), T ^i (P _c , T _c )$$ |
- | P _c , T _c \Rightarrow r^i (P _c , T _c ), L _r^i (P _c , T _c ), P ^i (P _c , T _c ), T ^i (P _c , T _c ) | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 191: | Linea 183: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$r^e -r^i = \varepsilon _r$$ |
- | r^e -r^i = \varepsilon _r | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$L_r^e -L_r^i = \varepsilon _L$$ |
- | L_r^e -L_r^i = \varepsilon _L | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$P^e -P^i = \varepsilon _P$$ |
- | P^e -P^i = \varepsilon _P | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$T^e -T^i = \varepsilon _T$$ |
- | T^e -T^i = \varepsilon _T | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno | Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno | ||
- | dai valori di prova assunti, rispettivamente, | + | dai valori di prova assunti, rispettivamente, |
- | < | + | $P_c , T_c$, //il metodo del fitting consiste nel valutare quali le |
variazioni da apportare ai quattro valori | variazioni da apportare ai quattro valori | ||
discrepanze tra le due quadruplette//, | discrepanze tra le due quadruplette//, | ||
- | le discrepanze | + | le discrepanze |
sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di | sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di | ||
10< | 10< | ||
Linea 225: | Linea 209: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$\Delta P^e = (\partial P^e / \partial L)_{Te=cost} |
- | \Delta P^e = (\partial P^e / \partial L)_{Te=cost} | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 233: | Linea 215: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$\Delta P^i = (\partial P^i / \partial P_c)_ {Tc=cost} |
- | \Delta P^i = (\partial P^i / \partial P_c)_ {Tc=cost} | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Sulla base di simili relazioni, per la variazione delle discrepanze si | + | Sulla base di simili relazioni, per la variazione delle discrepanze si ottiene |
- | ottiene | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
[26] | [26] | ||
- | < | + | $$\Delta (r^e - r^i) = |
- | \Delta (r^e - r^i) = (\frac{\partial r^e} {\partial L})_T_e \Delta L + | + | (\frac{\partial r^e}{\partial L})_{T_e} |
(\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | (\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
- | (\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c + | + | (\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_{T_c} |
- | (\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c | + | (\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_{P_c} |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
[27] | [27] | ||
- | < | + | $$\Delta (L_r^e -L_ r^i) = |
- | \Delta (L_r^e -L_ r^i) = | + | (\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_{T_e} |
- | (\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_T_e \Delta L + | + | |
(\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | (\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
- | (\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c + | + | (\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_{T_c} |
- | (\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c | + | (\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_{P_c} |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
[28] | [28] | ||
- | < | + | $$\Delta (P^e - P^i) = |
- | \Delta (P^e - P^i) = | + | (\frac{\partial P^e}{\partial L})_{T_e} |
- | (\frac{\partial P^e}{\partial L})_T_e \Delta L + | + | |
(\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | (\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
- | (\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c + | + | (\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_{T_c} |
- | (\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c | + | (\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_{P_c} |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
[29] | [29] | ||
- | < | + | $$\Delta (T^e - T^i) = |
- | \Delta (T^e - T^i) = | + | (\frac{\partial T^e}{\partial L})_{T_e} |
- | (\frac{\partial T^e}{\partial L})_T_e \Delta L + | + | |
(\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | (\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + | ||
- | (\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c + | + | (\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_{T_c} |
- | (\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ P_c \Delta T_c | + | (\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario | Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario | ||
- | alle discrepanze | + | alle discrepanze |
le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i | le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i | ||
valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro | valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro | ||
- | equazioni nelle quattro incognite | + | equazioni nelle quattro incognite |
- | | + | $\Delta P_c$, $\Delta T_c$ e con termini noti $ - \varepsilon_i |
- | (i=1,4).</ | + | (i=1,4).$ |
- | + | ||
I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni, | I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni, | ||
Linea 295: | Linea 266: | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$L + \delta L , T_e$$ |
- | L + \delta L , T _e | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
+ | $$L, T _e + \delta T_e$$ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$P_c , T _c |
- | L, T _e | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
+ | $$P_c + \delta P_c , T_c$$ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | e ponendo per la generica variabile |
- | P _c , T _c + \delta T_c | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | < | + | |
- | P _c + \delta P_c , T _c | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | e ponendo per la generica variabile | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
[30] | [30] | ||
- | < | + | $$\frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L}$$ |
- | \frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L} | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 342: | Linea 298: | ||
Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel | Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel | ||
adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un | adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un | ||
- | valore | + | valore |
ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori. | ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori. | ||
Linea 350: | Linea 306: | ||
quattro relazioni algebriche | quattro relazioni algebriche | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | $$(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$$ |
- | < | + | |
- | $(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$ | + | $$(M_{r,j+1} - M_{r,j}) / (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \rho = 0$$ |
- | </ | + | |
- | \\ | + | $$(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$$ |
- | \\ | + | |
- | <tex> | + | |
- | $(M_{r,j+1} - M_{r,j}) / (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \rho = 0$ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | <tex> | + | |
- | $(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | < | + | |
- | $(L_{r,j+1} - L_{r,j}) / (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \varepsilon = 0$ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | Poichè | + | $$(L_{r, |
+ | |||
+ | Poiché | ||
equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate, | equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate, | ||
ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N | ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N | ||
mesh, una discrepanza | mesh, una discrepanza | ||
- | \\ | + | |
- | \\ | + | $$\delta_{i, |
- | <tex> | + | |
- | $\delta_{i, | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N | Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N | ||
singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di | singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di | ||
- | azzerare i 4N-4 <tex>$\delta_{i, | + | azzerare i 4N-4 $\delta_{i, |
equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura. | equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura. | ||
Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente < | Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente < | ||
- | avendo dunque prefissato il valore di <tex>M$_r$</ | + | avendo dunque prefissato il valore di M$_r$ in opportuni |
- | lungo la struttura, il generico | + | lungo la struttura, il generico $\delta_{i, |
dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1 | dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1 | ||
- | \\ | + | |
- | \\ | + | $$\delta_{i, |
- | <tex>$\delta_{i, | + | P_{j+1}, T_{j+1} )$$ |
- | P_{j+1}, T_{j+1} )$ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle | di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle | ||
derivate parziali rispetto alle otto variabili. | derivate parziali rispetto alle otto variabili. | ||
- | Per la dipendenza del generico | + | Per la dipendenza del generico $\delta_{i, |
potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle | potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle | ||
4 equazioni dell' | 4 equazioni dell' | ||
valore variabili | valore variabili | ||
- | \\ | + | |
- | \\ | + | $$\Delta \delta_{i, |
- | <tex> | + | |
- | $\Delta \delta_{i, | + | |
+ \frac {\partial \delta_{i, | + \frac {\partial \delta_{i, | ||
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | \frac {\partial \delta_{i, |
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | \frac {\partial \delta_{i, |
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | \frac {\partial \delta_{i, |
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | $$ + \frac {\partial \delta_{i, |
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | \frac {\partial \delta_{i, |
- | \frac {\partial \delta_{i, | + | \frac {\partial \delta_{i, |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione $\delta{i, |
- | imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione | + | |
una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si | una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si | ||
ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite | ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | $$\Delta |
- | < | + | |
- | $\Delta r_j, \Delta L{r,j}, \Delta P_j, \Delta T_j $ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra - | Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra - | ||
Linea 434: | Linea 361: | ||
di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano | di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano | ||
immediatamente osservando che al centro della struttura deve | immediatamente osservando che al centro della struttura deve | ||
- | risultare e rimanere | + | risultare e rimanere |
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | $\Delta |
- | < | + | |
- | $\Delta r_1 = 0, \Delta L_{r,1} = 0$ | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Linea 449: | Linea 374: | ||
ulteriori condizioni | ulteriori condizioni | ||
\\ | \\ | ||
+ | $$r_N = f_1(L, | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$L_{r, |
- | $r_N = f_1(L,T_e)$ | + | |
- | </ | + | |
\\ | \\ | ||
+ | $$P_N = f_3(L, | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | $$T_N = f_4(L,T_e)$$ |
- | $L_{r,N} = f_2(L, | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | < | + | |
- | $P_N = f_3(L, | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | < | + | |
- | $T_N = f_4(L,T_e)$ | + | |
- | </ | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite | che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite | ||
(L e T< | (L e T< | ||
in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni | in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni | ||
- | successive (<tex>$\rightarrow$ A2.8</ | + | successive ($\rightarrow$ A2.8), fornendo i valori delle |
correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per | correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per | ||
verificare le equazioni dell' | verificare le equazioni dell' | ||
Linea 479: | Linea 391: | ||
tramite una serie di iterazioni, sempre che le funzioni di prova | tramite una serie di iterazioni, sempre che le funzioni di prova | ||
siano assegnate all' | siano assegnate all' | ||
- | \\ | + | </WRAP> |
- | <fbl> | + | |
- | \\ | + | |
\\ | \\ | ||
---- | ---- | ||
\\ | \\ | ||
~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ |
c02/p0206.1399048691.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)