Astrofisica Stellare

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c02:p0206

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c02:p0206 [10/11/2017 11:34] – sistemazione TeX marcoc02:p0206 [10/05/2023 15:02] (versione attuale) – messe a punto alcune formule marco
Linea 1: Linea 1:
 ====== 2.6 Metodi di calcolo ====== ====== 2.6 Metodi di calcolo ======
- 
-//lavori in corso su questo paragrafo! // 
  
 <WRAP justify> <WRAP justify>
Linea 161: Linea 159:
 l'integrazione sino ad un prefissato valore della massa //M _r  = l'integrazione sino ad un prefissato valore della massa //M _r  =
 M _F//  (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una M _F//  (//massa di fitting//) ottenendo in tale punto una
-quadrupletta di valori <tex>r ^e , L _r^e , P ^e , T ^e</tex> , ove l'indice+quadrupletta di valori $r ^e , L _r^e , P ^e , T ^e$, ove l'indice
 "e" sta ad indicare che tali valori sono il risultato "e" sta ad indicare che tali valori sono il risultato
 dell'integrazione esterna. dell'integrazione esterna.
 \\ \\
-\\ +$$L, T _e  \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e  (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e )$$
-$L, T _e  \Rightarrow r^e (L, T _e ), L ^e  (L, T _e ), P ^e (L, T _e ), T ^e (L, T _e )$ +
-\\+
 \\ \\
 ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della ove si è evidenziata la ovvia dipendenza dei valori della
Linea 201: Linea 197:
  
 Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno Tenuto presente che i valori delle due quadruplette dipenderanno
-dai valori di prova assunti, rispettivamente, per <tex>L, T _e</tex>  e +dai valori di prova assunti, rispettivamente, per $L, T_e$  e 
-$P _c , T _c$, //il metodo del fitting consiste nel valutare quali le+$P_c , T_c$, //il metodo del fitting consiste nel valutare quali le
 variazioni da apportare ai quattro valori  di prova per annullare le variazioni da apportare ai quattro valori  di prova per annullare le
 discrepanze tra le due quadruplette//, o - nella pratica - perchè discrepanze tra le due quadruplette//, o - nella pratica - perchè
-le discrepanze $(P ^i  - P ^e )/P ^i$  e  simili scendano al di+le discrepanze $(P^i  - P^e )/P^i$ e simili scendano al di
 sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di sotto di una soglia di precisione tipicamente non maggiore di
 10<sup>-4</sup>. 10<sup>-4</sup>.
Linea 225: Linea 221:
 \\ \\
 \\ \\
-$$[26] \Delta (r^e - r^i) = (\frac{\partial r^e} {\partial L})_T_e \Delta L + (\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + (\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c + (\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c$$ +[26] 
-$$ \Delta (r^e - r^i) $$+$$\Delta (r^e - r^i) =  
 +(\frac{\partial r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +  
 +(\frac{\partial r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +  
 +(\frac{\partial r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +  
 +(\frac{\partial r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
  
 \\ \\
Linea 232: Linea 232:
 [27] [27]
 $$\Delta (L_r^e -L_ r^i) =  $$\Delta (L_r^e -L_ r^i) = 
-(\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_T_e \Delta L + +(\frac{\partial L_r^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L + 
 (\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +  (\frac{\partial L_r^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + 
-(\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c +  +(\frac{\partial L_r^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +  
-(\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c$$+(\frac{\partial L_r^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
 \\ \\
 \\ \\
 [28] [28]
 $$\Delta (P^e - P^i) =  $$\Delta (P^e - P^i) = 
-(\frac{\partial P^e}{\partial L})_T_e \Delta L +  +(\frac{\partial P^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +  
 (\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +  (\frac{\partial P^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + 
-(\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c +  +(\frac{\partial P^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +  
-(\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_P_c \Delta T_c$$+(\frac{\partial P^i}{\partial T_c})_{P_c} \Delta T_c$$
 \\ \\
 \\ \\
 [29] [29]
 $$\Delta (T^e - T^i) =  $$\Delta (T^e - T^i) = 
-(\frac{\partial T^e}{\partial L})_T_e \Delta L +  +(\frac{\partial T^e}{\partial L})_{T_e} \Delta L +  
 (\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e +  (\frac{\partial T^e}{\partial T_e})_L \Delta T_e + 
-(\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_T_c \Delta P_c +  +(\frac{\partial T^i}{\partial P_c})_{T_c} \Delta P_c +  
-(\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ P_c \Delta T_c$$+(\frac{\partial T^i}{\partial T_c})_ {P_c} \Delta T_c$$
 \\ \\
 \\ \\
 Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario Imponendo che tali variazioni siano eguali ma di segno contrario
-alle discrepanze  <tex>\varepsilon_i  (i = 1, 4)</tex>, così da annullare+alle discrepanze  $\varepsilon_i  (i = 1, 4)$, così da annullare
 le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i le differenze delle due quadruplette al fitting, ove siano noti i
 valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro valori delle derivate si ottiene un sistema lineare di quattro
-equazioni nelle quattro incognite  <tex>\Delta L ,  \Delta T_e . +equazioni nelle quattro incognite  $\Delta L$ ,  $\Delta T_e$ . 
- \Delta P_c, \Delta T_c</tex>  e con termini noti <tex> - \varepsilon_i  + $\Delta P_c$, $\Delta T_c$  e con termini noti $ - \varepsilon_i  
-(i=1,4).</tex> +(i=1,4).$
- +
  
 I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni, I valori delle derivate parziali sono ricavati eseguendo quattro integrazioni,
Linea 268: Linea 266:
 \\ \\
 \\ \\
-<tex> +$$L +  \delta L , T_e$$ 
-L +  \delta L , T _e  +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-L,  T _e  +  \delta T_e  +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-P _c , T _c  +  \delta T_c  +
-</tex> +
-\\+
 \\ \\
-<tex> +$$L,  T _e  +  \delta T_e$$ 
-P _c  +  \delta P_c , T _c  +
-</tex>+
 \\ \\
 +$$P_c , T _c  +  \delta T_c$$ 
 \\ \\
-e ponendo per la generica variabile <tex>X ^i_j  (j=1, 4), X ^e_j (j=1,4)</tex>+$$P_c  +  \delta P_c , T_c$$ 
 \\ \\
 +e ponendo per la generica variabile $X ^i_j  (j=1, 4), X^e_j (j=1,4)$
 \\ \\
 [30] [30]
-<tex> +$$\frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L}$$ 
-\frac{\partial X^e_j}{\partial L} \approx \frac{X^e_j(L + \delta L, T_e) - X^e_j(L, T_e)}{\delta L}  +
-</tex>+
 \\ \\
 \\ \\
Linea 315: Linea 298:
 Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel Un approccio alternativo alla soluzione del problema consiste nel
 adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un adottare una soluzione di prova, cioè assegnare in ogni punto un
-valore  delle funzioni <tex>(M$_r$), L$_r$(M$_r$), P(M$_r$), T(M$_r$)</tex>,+valore  delle funzioni $(M$_r$), L$_r$(M$_r$), P(M$_r$), T(M$_r$)$,
 ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori. ed applicare un metodo che consente di correggere tali valori.
  
Linea 323: Linea 306:
 quattro relazioni algebriche quattro relazioni algebriche
 \\ \\
-\\ +$$(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$$ 
-<tex> + 
-$(P_{j+1} - P_j) / (r_{j+1} - r_j) - G M_{r,j} \rho_j / r_j^2 = 0$ +$$(M_{r,j+1} - M_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \rho = 0$$ 
-</tex> + 
-\\ +$$(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$$
-\\ +
-<tex> +
-$(M_{r,j+1} - M_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \rho = 0$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-$(T_{j+1} - T_j) / (r_{j+1}- r_j) - (3/4ac) (\overline \kappa \rho_j / T_j^3) L_{r,j} / 4\pi r_j^2 = 0$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-$(L_{r,j+1} - L_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \varepsilon = 0$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\+
  
-Poichè la soluzione di prova non soddisfa le equazioni di+$$(L_{r,j+1} - L_{r,j}) /  (r_{j+1}- r_j) - 4 \pi r_j^2 \varepsilon = 0$$ 
 + 
 +Poiché la soluzione di prova non soddisfa le equazioni di
 equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate, equilibrio, le quattro eguaglianze a zero non saranno verificate,
 ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N ed ognuna delle quattro relazioni darà, per ogni coppia degli N
 mesh, una discrepanza mesh, una discrepanza
-\\ + 
-\\ +$$\delta_{i,j}  \ \ ( i=1,4 ; j=1, N-1)$$ 
-<tex> +
-$\delta_{i,j}  \ \ ( i=1,4 ; j=1, N-1$) +
-</tex> +
-\\ +
-\\+
 Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N Occorre dunque operare sui valori di prova assegnati negli N
 singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di singoli mesh in cui è stata divisa la struttura al fine di
-azzerare i 4N-4 <tex>$\delta_{i,j}$</tex> così che le relazioni di+azzerare i 4N-4 $\delta_{i,j}$ così che le relazioni di
 equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura. equilibrio risultino soddisfatte lungo tutta la struttura.
  
 Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente <tex>M$_r$</tex> ed Notiamo al proposito che, avendo scelto come variabile indipendente <tex>M$_r$</tex> ed
-avendo dunque prefissato il valore di <tex>M$_r$</tex> in opportuni mesh spaziati +avendo dunque prefissato il valore di M$_r$ in opportuni //mesh// spaziati 
-lungo la struttura, il generico <tex>$\delta_{i,j}$</tex> resta una funzione algebrica+lungo la struttura, il generico $\delta_{i,j}$ resta una funzione algebrica
 dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1 dei valori delle quattro variabili nei mesh j e j+1
-\\ + 
-\\ +$$\delta_{i,j} = f(r_j, L_{r,j}, P_j, T_j, r_{j+1}, L_{r,j+1}, 
-<tex>$\delta_{i,j} = f(r_j, L_{r,j}, P_j, T_j, r_{j+1}, L_{r,j+1}, +P_{j+1}, T_{j+1} )$$ 
-P_{j+1}, T_{j+1} )$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\+
 di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle di cui è possibile ricavare algebricamente i valori delle
 derivate parziali rispetto alle otto variabili. derivate parziali rispetto alle otto variabili.
  
-Per la dipendenza del generico <tex>$\delta_{i,j}$</tex> dalle funzioni di prova+Per la dipendenza del generico $\delta_{i,j}$ dalle funzioni di prova
 potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle potremo dunque scrivere per ogni coppia di mesh e per ognuna delle
 4 equazioni dell'equilibrio una relazione che lega le discrepanze al 4 equazioni dell'equilibrio una relazione che lega le discrepanze al
 valore variabili valore variabili
-\\ + 
-\\ +$$\Delta \delta_{i,j} = \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_j}  \Delta r_j 
-<tex> +
-$\Delta \delta_{i,j} = \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_j}  \Delta r_j +
 + \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial L_{r,j}} \Delta L_{r,j} + + \frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial L_{r,j}} \Delta L_{r,j} +
-\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_j} \Delta P_j + +\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_j} \Delta {P_j} + 
-\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial T_j} \Delta T_j+ +\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial T_j} \Delta {T_j} + 
-\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_{j+1}} \Delta r_{j+1}  + +\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial r_{j+1}} \Delta r_{j+1}  + $$ 
-\frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial L_{r,j+1}} \Delta  L_{r,j+1}+ +$$ + \frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial L_{r,j+1}} \Delta L_{r,j+1} + 
-\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_{j+1}} \Delta  P_{j+1}+ +\frac {\partial \delta_{i,j}}{\partial P_{j+1}} \Delta P_{j+1}+ 
-\frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial r_{j+1}} \Delta T_{j+1}$ +\frac {\partial \delta_{i,j}} {\partial r_{j+1}} \Delta T_{j+1}$$
-</tex> +
-\\+
 \\ \\
-imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione <tex>$\delta{i,j}$</tex> subisca+imponendo che per ogni coppia e per ogni equazione $\delta{i,j}$ subisca
 una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si una variazione eguale e di segno contrario alla discrepanza trovata, si
 ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite ottiene in definitiva un sistema di 4N-4 equazioni nelle 4N incognite
 \\ \\
-\\ +$$\Delta {r_j}, \Delta L{r,j}, \Delta {P_j}, \Delta {T_j} $$   (j=1,N)
-<tex> +
-$\Delta r_j, \Delta L{r,j}, \Delta P_j, \Delta T_j $   (j=1,N) +
-</tex> +
-\\+
 \\ \\
 Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra - Il bilancio tra numero di incognite e numero di equazioni mostra -
Linea 407: Linea 361:
 di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano di quattro condizioni al contorno. Due di queste si ricavano
 immediatamente osservando che al centro della struttura deve immediatamente osservando che al centro della struttura deve
-risultare e rimanere <tex>r = L$_r$ = 0</tex>, e quindi+risultare e rimanere $r = L$_r$ = 0$, e quindi
 \\ \\
-\\ +$\Delta {r_1} = 0, \Delta L_{r,1} = 0$ 
-<tex> +
-$\Delta r_1 = 0, \Delta L_{r,1} = 0$ +
-</tex>+
 \\ \\
 \\ \\
Linea 422: Linea 374:
 ulteriori condizioni ulteriori condizioni
 \\ \\
 +$$r_N = f_1(L,T_e)$$
 \\ \\
-<tex> +$$L_{r,N} = f_2(L,T_e)$$
-$r_N = f_1(L,T_e)$ +
-</tex>+
 \\ \\
 +$$P_N = f_3(L,T_e)$$
 \\ \\
-<tex> +$$T_N = f_4(L,T_e)$$
-$L_{r,N} = f_2(L,T_e)$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-$P_N = f_3(L,T_e)$ +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-<tex> +
-$T_N = f_4(L,T_e)$ +
-</tex> +
-\\+
 \\ \\
 che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite che aggiungono alle precedenti 4 nuove equazioni e due incognite
 (L e T<sub>e</sub>). In totale abbiamo dunque un sistema di 4N equazioni (L e T<sub>e</sub>). In totale abbiamo dunque un sistema di 4N equazioni
 in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni in 4N incognite, che viene in genere risolto per sostituzioni
-successive (<tex>$\rightarrow$ A2.8</tex>), fornendo i valori delle+successive ($\rightarrow$ A2.8), fornendo i valori delle
 correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per correzioni da apportare in ogni mesh alle funzioni di prova per
 verificare le equazioni dell'equilibrio. Avendo nuovamente verificare le equazioni dell'equilibrio. Avendo nuovamente
Linea 453: Linea 392:
 siano assegnate all'interno di un'area di convergenza. siano assegnate all'interno di un'area di convergenza.
 </WRAP> </WRAP>
-<fbl> 
-\\ 
 \\ \\
 ---- ----
 \\ \\
 ~~DISQUS~~ ~~DISQUS~~
c02/p0206.1510310063.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)
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