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c02:teoria_mixing-lenght

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c02:teoria_mixing-lenght [28/09/2010 15:56] – minimalia marcoc02:teoria_mixing-lenght [23/11/2017 15:34] – sistemazione TeX e giustificazione testo marco
Linea 1: Linea 1:
 +====== A2.5 La teoria della mixing-length ======
 +
 +<WRAP justify>
 +Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento
 +di elementi di convezione ("bolle") che, iniziando il loro moto in
 +equilibrio con l'ambiente, percorrano adiabaticamente un tragitto
 +"l" per cedere infine l'eccesso di energia termica all'ambiente
 +circostante. Il tragitto "l" prende il nome di //lunghezza di
 +rimescolamento// o //mixing length//. Se $dT/dR$ 
 +è il gradiente
 +dell'ambiente in cui si muove la bolla, la differenza di
 +temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto
 +\\
 +$$\Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)] l=[(dT/dP)_{ad}-(dT/dP)] (dP/dr) l$$
 +\\
 +Poichè $dP/dr$ è negativo, si riconosce immediatamente che vi
 +sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo
 +quando la zona è instabile per convezione, cioè 
 +$dT/dP $>$ (dT/dP)_{ad}$
 +(Criterio di Schwarzschild $\rightarrow 2.2$)
 +\\
 +{{:c02:figura_02_09.jpg?600}}
 +\\
 +**Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra)
 +e del peso molecolare $\mu$ (scala di sinistra) in funzione della
 +pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II,
 +1.5 M$_{\odot}$ in Sequenza Principale, log T<sub>e</sub> = 3.91. Il
 +gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie
 +il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno. 
 +\\
 +{{:c02:figura_02_10.jpg?600}}
 +\\
 +**Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una
 +stella di 1.25 M$_{\odot}$, log T<sub>e</sub> = 3.83. Al diminuire della
 +temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni
 +più interne (più dense) il gradiente locale tende al
 +gradiente adiabatico.
 +\\
 +\\
 +Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il
 +calore scambiato al termine del tragitto sarà $MC_P \Delta T$,
 +ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo
 +che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava
 +per il flusso trasportato dalla convezione
 +\\
 +$$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$
 +\\
 +L'esistenza di un gradiente di temperatura implica peraltro anche
 +un trasporto radiativo (<tex>$\rightarrow A2.2$</tex>)
 +\\
 +$$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$
 +\\
 +così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava
 +\\
 +$$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} -
 +(\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3})
 + (\frac {dT}{dr}) $$
 +\\
 +da cui
 +\\
 +$$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}}
 +{\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$
 +\\
 +Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente 
 +($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{rad}$ mentre per
 +convezione dominante 
 +($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr
 +\rightarrow (dT/dr)_{ad}$.
 +\\
 +\\
 +Per valutare le //velocità// degli elementi di convezione possiamo
 +osservare che per il [[Wp.it>Principio_di_Archimede|principio di Archimede]] la forza agente
 +sull'elemento sarà
 +\\
 +$$F=g \Delta \rho V$$
 +\\
 +dove g è la gravità locale, V il volume dell'elemento e
 +$\Delta \rho$ è la differenza di densità tra l'ambiente e la
 +bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi
 +variazioni del grado di ionizzazione) 
 +$\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$, 
 +dove per ogni tragitto parziale x 
 +($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)_{amb}]x$. 
 +Applicando il [[Wp.it>Teorema_delle_forze_vive|teorema delle
 +forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene
 +così al termine del tragitto
 +\\
 +$$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V
 +\frac {\Delta T}{T}xdx$$
 +\\
 +da cui
 +\\
 +$$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
 +(\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l
 +xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
 +(\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$
 +\\
 +Introducendo come valori medi lungo la traiettoria $v=v(l)/2$ e
 +$\Delta T(l)= \Delta T/2$, osservando che per l'equilibrio
 +idrostatico si ha che
 +\\
 +$$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} =
 +-\frac{dT}{dP}g\rho$$
 +\\
 +si ricava infine
 +\\
 +$$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/2}$$
 +\\
 +che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale
 +fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore
 +della mixing length consentono la determinazione di $v$ e
 +$\nabla_{amb}$. Quest'ultimo, in particolare, fornisce il valore
 +del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e,
 +in quanto tale, viene sovente indicato come $\nabla_{conv}$
 +\\
 +{{:c02:figura_02_11.jpg?600}}
 +\\
 +**Figura 2.11** Andamento della temperatura in funzione
 +della pressione per il modello di figura 2.10 per due
 +diverse assunzioni sulla lunghezza di rimescolamento.
 +All'aumentare di "l" aumenta l'efficienza della convezione e
 +diminuisce il gradiente di temperatura. In ogni caso le diverse
 +soluzioni convergono verso una comune soluzione interna.
 +\\
 +\\
 +Non può sfuggire l'estrema semplificazione del modello adottato,
 +ove -ad esempio - viene trascurata la [[wp.it>viscosità]] del mezzo e
 +vengono trascurati gli scambi di energia lungo il tragitto degli
 +elementi di convezione. Ancor più pesante è l'assunzione di
 +una convezione per "bolle" a fronte dell'evidenza osservativa (nel
 +Sole) di una convezione per colonne, e quindi "non locale". La
 +teoria  della mixing length è nondimeno utilizzata come un
 +formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le
 +varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che
 +finiscono col dipendere dal parametro $l$ che, di fatto, viene a
 +regolare l'efficienza del trasporto convettivo. In tal senso $l$
 +viene riguardato come un parametro libero il cui valore va
 +determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto
 +sulla base di un riscontro dei risultati ai risultati osservativo
 +sperimentali. In questo quadro la versione semplificata della
 +teoria, qui presentata come proposta da Demarque e Geisler, è
 +non meno valida della più sofisticata versione originalmente
 +proposta da Erika Bohm-Vitense, nella quale veniva ulteriormente
 +elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell'elemento di
 +convezione.
 +
 +Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere
 +una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di
 +pressione//, $H_P$
 +\\
 +$$ l = \alpha H_P$$
 +\\
 +dove $H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$ e $\alpha$
 +è scelto tra 0.5 e
 +2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di
 +convezione può conservare la propria individualità per
 +tragitti molto superiori a quello per cui la pressione si riduce di
 +un e-mo. In analogia con la precedente formulazione, la mixing
 +length può essere anche riferita a l'//altezza di scala di
 +temperatura// o a quella di //densità//. Quest'ultima in
 +particolare ha in passato goduto di una certa popolarità,
 +perchè elimina le inversioni di pressione che talora si
 +manifestano con l'uso $H_P$.
 +
 +Le Figure 2.9 e 2.10  riportano a titolo di esempio l'andamento
 +dei vari gradienti nelle zone subatmosferiche di stelle di
 +sequenza principale di varia massa. Al diminuire della massa
 +stellare aumenta la densità degli strati subatmosferici, aumenta
 +quindi la capacità termica della materie e, come mostrato nelle
 +figure, il gradiente convettivo tende sempre più verso il
 +gradiente adiabatico.
 +
 +E' importante notare come l'incertezza sull'efficienza della
 +convezione superadiabatica si trasferisca in genere in un
 +incertezza sui raggi stellari, ma non sulle rispettive
 +luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi
 +convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di
 +$l$ finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig.
 +2.11), Si può calibrare $\alpha$ richiedendo, ad
 +esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la
 +temperatura efficace) osservato. Si ricava così $l\simeq 1.8$.
 +Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere
 +estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione
 +chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi
 +$\alpha$.
 +
 +Notiamo infine come la teoria della [[wp>Mixing_length_theory|mixing length]], nei limiti in
 +cui si accettino le predizioni sulla velocità, possa fornire
 +anche indicazioni sulla consistenza dell'overshooting. Il tragitto
 +degli elementi nella zona radiativa è infatti ricavabile
 +dall'applicazione del teorema delle forze vive alle forze di
 +frenamento che in tale zona si vengono a creare.
 +</WRAP>
 +\\
 +<fbl>
 +\\
 +----
 +~~DISQUS~~
  
c02/teoria_mixing-lenght.txt · Ultima modifica: 10/05/2023 15:17 da marco

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