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c02:teoria_mixing-lenght

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c02:teoria_mixing-lenght [28/09/2010 15:58] – ** VERSIONE 1.0 ** marcoc02:teoria_mixing-lenght [23/11/2017 15:34] – sistemazione TeX e giustificazione testo marco
Linea 1: Linea 1:
 ====== A2.5 La teoria della mixing-length ====== ====== A2.5 La teoria della mixing-length ======
  
 +<WRAP justify>
 Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento
 di elementi di convezione ("bolle") che, iniziando il loro moto in di elementi di convezione ("bolle") che, iniziando il loro moto in
Linea 6: Linea 7:
 "l" per cedere infine l'eccesso di energia termica all'ambiente "l" per cedere infine l'eccesso di energia termica all'ambiente
 circostante. Il tragitto "l" prende il nome di //lunghezza di circostante. Il tragitto "l" prende il nome di //lunghezza di
-rimescolamento// o //mixing length//. Se <tex>$dT/dR$</tex> +rimescolamento// o //mixing length//. Se $dT/dR$ 
 è il gradiente è il gradiente
 dell'ambiente in cui si muove la bolla, la differenza di dell'ambiente in cui si muove la bolla, la differenza di
 temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto
 \\ \\
 +$$\Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)] l=[(dT/dP)_{ad}-(dT/dP)] (dP/dr) l$$
 \\ \\
-<tex> +Poichè $dP/dr$ è negativo, si riconosce immediatamente che vi
-$$\Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)] l=[(dT/dP)_{ad}-(dT/dP)] (dP/dr) l$$. +
-</tex> +
-\\ +
-\\ +
-Poichè <tex>$dP/dr$</tex> è negativo, si riconosce immediatamente che vi+
 sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo
 quando la zona è instabile per convezione, cioè  quando la zona è instabile per convezione, cioè 
-<tex>$dT/dP $>$ (dT/dP)_{ad}$</tex> +$dT/dP $>$ (dT/dP)_{ad}$ 
-(Criterio di Schwarzschild <tex>$\rightarrow 2.2$</tex>) +(Criterio di Schwarzschild $\rightarrow 2.2$) 
- +\\
 {{:c02:figura_02_09.jpg?600}} {{:c02:figura_02_09.jpg?600}}
 \\ \\
 **Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra) **Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra)
-e del peso molecolare <tex>$\mu$</tex> (scala di sinistra) in funzione della+e del peso molecolare $\mu$ (scala di sinistra) in funzione della
 pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II, pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II,
-<tex>1.5 M$_{\odot}$</tex> in Sequenza Principale, log T<sub>e</sub> = 3.91. Il+1.5 M$_{\odot}$ in Sequenza Principale, log T<sub>e</sub> = 3.91. Il
 gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie
 il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno.  il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno. 
 \\ \\
-\\ 
- 
 {{:c02:figura_02_10.jpg?600}} {{:c02:figura_02_10.jpg?600}}
- 
 \\ \\
 **Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una **Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una
-stella di 1.25 <tex>M$_{\odot}$</tex>, log T<sub>e</sub> = 3.83. Al diminuire della+stella di 1.25 M$_{\odot}$, log T<sub>e</sub> = 3.83. Al diminuire della
 temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni
 più interne (più dense) il gradiente locale tende al più interne (più dense) il gradiente locale tende al
Linea 46: Linea 39:
 \\ \\
 Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il
-calore scambiato al termine del tragitto sarà  <tex>$MC_P \Delta T$</tex>,+calore scambiato al termine del tragitto sarà $MC_P \Delta T$,
 ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo
 che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava
 per il flusso trasportato dalla convezione per il flusso trasportato dalla convezione
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$ $$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 L'esistenza di un gradiente di temperatura implica peraltro anche L'esistenza di un gradiente di temperatura implica peraltro anche
 un trasporto radiativo (<tex>$\rightarrow A2.2$</tex>) un trasporto radiativo (<tex>$\rightarrow A2.2$</tex>)
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$ $$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} - $$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} -
 (\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}) (\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3})
  (\frac {dT}{dr}) $$  (\frac {dT}{dr}) $$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 da cui da cui
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}} $$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}}
 {\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$ {\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente  Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente 
-<tex>($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{rad}$</tex> mentre per+($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{rad}$ mentre per
 convezione dominante  convezione dominante 
-<tex>($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr+($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr
 \rightarrow (dT/dr)_{ad}$. \rightarrow (dT/dr)_{ad}$.
-</tex> 
 \\ \\
 \\ \\
Linea 97: Linea 73:
 sull'elemento sarà sull'elemento sarà
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$F=g \Delta \rho V$$ $$F=g \Delta \rho V$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 dove g è la gravità locale, V il volume dell'elemento e dove g è la gravità locale, V il volume dell'elemento e
-<tex>$\Delta \rho$</tex> è la differenza di densità tra l'ambiente e la+$\Delta \rho$ è la differenza di densità tra l'ambiente e la
 bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi
 variazioni del grado di ionizzazione)  variazioni del grado di ionizzazione) 
-<tex>$\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$</tex>, +$\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$, 
 dove per ogni tragitto parziale x  dove per ogni tragitto parziale x 
-<tex> 
 ($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)_{amb}]x$.  ($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)_{amb}]x$. 
-</tex> 
 Applicando il [[Wp.it>Teorema_delle_forze_vive|teorema delle Applicando il [[Wp.it>Teorema_delle_forze_vive|teorema delle
 forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene
 così al termine del tragitto così al termine del tragitto
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V $$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V
 \frac {\Delta T}{T}xdx$$ \frac {\Delta T}{T}xdx$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 da cui da cui
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- $$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
 (\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l (\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l
 xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
 (\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$ (\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$
-</tex> 
 \\ \\
-\\ +Introducendo come valori medi lungo la traiettoria $v=v(l)/2$ e 
-Introducendo come valori medi lungo la traiettoria <tex>$v=v(l)/2$</tex> e +$\Delta T(l)= \Delta T/2$, osservando che per l'equilibrio
-<tex>$\Delta T(l)= \Delta T/2$</tex>, osservando che per l'equilibrio+
 idrostatico si ha che idrostatico si ha che
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} = $$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} =
 -\frac{dT}{dP}g\rho$$ -\frac{dT}{dP}g\rho$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 si ricava infine si ricava infine
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/2}$$ $$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/2}$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
 che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale
 fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore
-della mixing length consentono la determinazione di <tex>$v$</tex> e +della mixing length consentono la determinazione di $v$ e 
-<tex>$\nabla_{amb}$</tex>. Quest'ultimo, in particolare, fornisce il valore+$\nabla_{amb}$. Quest'ultimo, in particolare, fornisce il valore
 del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e, del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e,
-in quanto tale, viene sovente indicato come <tex>$\nabla_{conv}$</tex> +in quanto tale, viene sovente indicato come $\nabla_{conv}$ 
- +\\
 {{:c02:figura_02_11.jpg?600}} {{:c02:figura_02_11.jpg?600}}
 \\ \\
Linea 180: Linea 133:
 formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le
 varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che
-finiscono col dipendere dal parametro <tex>$l$</tex> che, di fatto, viene a +finiscono col dipendere dal parametro $l$ che, di fatto, viene a 
-regolare l'efficienza del trasporto convettivo. In tal senso <tex>$l$</tex>+regolare l'efficienza del trasporto convettivo. In tal senso $l$
 viene riguardato come un parametro libero il cui valore va viene riguardato come un parametro libero il cui valore va
 determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto
Linea 191: Linea 144:
 elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell'elemento di elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell'elemento di
 convezione. convezione.
- 
  
 Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere
 una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di
-pressione//, <tex>$H_P$</tex>+pressione//, $H_P$
 \\ \\
-\\ 
-<tex> 
 $$ l = \alpha H_P$$ $$ l = \alpha H_P$$
-</tex> 
-\\ 
 \\ \\
-dove <tex>$H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$</tex> e <tex>$\alpha$</tex> +dove $H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$ e $\alpha$
 è scelto tra 0.5 e è scelto tra 0.5 e
 2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di 2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di
Linea 213: Linea 161:
 particolare ha in passato goduto di una certa popolarità, particolare ha in passato goduto di una certa popolarità,
 perchè elimina le inversioni di pressione che talora si perchè elimina le inversioni di pressione che talora si
-manifestano con l'uso <tex>$H_P$</tex>.+manifestano con l'uso $H_P$.
  
 Le Figure 2.9 e 2.10  riportano a titolo di esempio l'andamento Le Figure 2.9 e 2.10  riportano a titolo di esempio l'andamento
Linea 228: Linea 176:
 luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi
 convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di
-<tex>$l$</tex>  finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. +$l$ finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. 
-2.11), Si può calibrare <tex>$\alpha$</tex> richiedendo, ad+2.11), Si può calibrare $\alpha$ richiedendo, ad
 esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la
-temperatura efficace) osservato. Si ricava così <tex>$l\simeq 1.8$</tex>.+temperatura efficace) osservato. Si ricava così $l\simeq 1.8$.
 Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere
 estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione
 chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi
-<tex>$\alpha$</tex>.+$\alpha$.
  
 Notiamo infine come la teoria della [[wp>Mixing_length_theory|mixing length]], nei limiti in Notiamo infine come la teoria della [[wp>Mixing_length_theory|mixing length]], nei limiti in
Linea 243: Linea 191:
 dall'applicazione del teorema delle forze vive alle forze di dall'applicazione del teorema delle forze vive alle forze di
 frenamento che in tale zona si vengono a creare. frenamento che in tale zona si vengono a creare.
-\\+</WRAP>
 \\ \\
 <fbl> <fbl>
-\\ 
 \\ \\
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 ~~DISQUS~~ ~~DISQUS~~
  
c02/teoria_mixing-lenght.txt · Ultima modifica: 10/05/2023 15:17 da marco
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