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A2.5 La teoria della mixing-length
Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento
di elementi di convezione (“bolle”) che, iniziando il loro moto in
equilibrio con l'ambiente, percorrano adiabaticamente un tragitto
“l” per cedere infine l'eccesso di energia termica all'ambiente
circostante. Il tragitto “l” prende il nome di lunghezza di
rimescolamento o mixing length. Se <tex>$dT/dR$</tex>
è il gradiente
dell'ambiente in cui si muove la bolla, la differenza di
temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto
<tex>
$$\Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)] l=[(dT/dP)_{ad}-(dT/dP)] (dP/dr) l$$.
</tex>
Poichè <tex>$dP/dr$</tex> è negativo, si riconosce immediatamente che vi
sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo
quando la zona è instabile per convezione, cioè
<tex>$dT/dP $>$ (dT/dP)_{ad}$</tex>
(Criterio di Schwarzschild <tex>$\rightarrow 2.2$</tex>)
Figura 2.9 Andamento dei gradienti (scala di destra)
e del peso molecolare <tex>$\mu$</tex> (scala di sinistra) in funzione della
pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II,
<tex>1.5 M$_{\odot}$</tex> in Sequenza Principale, log Te = 3.91. Il
gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie
il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno.
Figura 2.10 Come in figura 2.9, ma per una
stella di 1.25 <tex>M$_{\odot}$</tex>, log Te = 3.83. Al diminuire della
temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni
più interne (più dense) il gradiente locale tende al
gradiente adiabatico.
Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il
calore scambiato al termine del tragitto sarà <tex>$MC_P \Delta T$</tex>,
ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo
che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava
per il flusso trasportato dalla convezione
<tex>
$$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$
</tex>
L'esistenza di un gradiente di temperatura implica peraltro anche
un trasporto radiativo (<tex>$\rightarrow A2.2$</tex>)
<tex>
$$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$
</tex>
così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava
<tex>
$$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} -
(\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3})
(\frac {dT}{dr}) $$
</tex>
da cui
<tex>
$$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}}
{\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$
</tex>
Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente
<tex>($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{rad}$</tex> mentre per
convezione dominante
<tex>($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr
\rightarrow (dT/dr)_{ad}$.
</tex>
Per valutare le velocità degli elementi di convezione possiamo
osservare che per il principio di Archimede la forza agente
sull'elemento sarà
<tex>
$$F=g \Delta \rho V$$
</tex>
dove g è la gravità locale, V il volume dell'elemento e
<tex>$\Delta \rho$</tex> è la differenza di densità tra l'ambiente e la
bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi
variazioni del grado di ionizzazione)
<tex>$\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$</tex>,
dove per ogni tragitto parziale x
<tex>
($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)_{amb}]x$.
</tex>
Applicando il teorema delle
forze vive (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene
così al termine del tragitto
<tex>
$$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V
\frac {\Delta T}{T}xdx$$
</tex>
da cui
<tex>
$$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
(\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l
xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}-
(\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$
</tex>
Introducendo come valori medi lungo la traiettoria <tex>$v=v(l)/2$</tex> e
<tex>$\Delta T(l)= \Delta T/2$</tex>, osservando che per l'equilibrio
idrostatico si ha che
<tex>
$$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} =
-\frac{dT}{dP}g\rho$$
</tex>
si ricava infine
<tex>
$$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/2}$$
</tex>
che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale
fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore
della mixing length consentono la determinazione di <tex>$v$</tex> e
<tex>$\nabla_{amb}$</tex>. Quest'ultimo, in particolare, fornisce il valore
del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e,
in quanto tale, viene sovente indicato come <tex>$\nabla_{conv}$</tex>
Figura 2.11 Andamento della temperatura in funzione
della pressione per il modello di figura 2.10 per due
diverse assunzioni sulla lunghezza di rimescolamento.
All'aumentare di “l” aumenta l'efficienza della convezione e
diminuisce il gradiente di temperatura. In ogni caso le diverse
soluzioni convergono verso una comune soluzione interna.
Non può sfuggire l'estrema semplificazione del modello adottato,
ove -ad esempio - viene trascurata la viscosità del mezzo e
vengono trascurati gli scambi di energia lungo il tragitto degli
elementi di convezione. Ancor più pesante è l'assunzione di
una convezione per “bolle” a fronte dell'evidenza osservativa (nel
Sole) di una convezione per colonne, e quindi “non locale”. La
teoria della mixing length è nondimeno utilizzata come un
formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le
varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che
finiscono col dipendere dal parametro <tex>$l$</tex> che, di fatto, viene a
regolare l'efficienza del trasporto convettivo. In tal senso <tex>$l$</tex>
viene riguardato come un parametro libero il cui valore va
determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto
sulla base di un riscontro dei risultati ai risultati osservativo
sperimentali. In questo quadro la versione semplificata della
teoria, qui presentata come proposta da Demarque e Geisler, è
non meno valida della più sofisticata versione originalmente
proposta da Erika Bohm-Vitense, nella quale veniva ulteriormente
elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell'elemento di
convezione.
Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere
una mixing length proporzionale all' altezza di scala di
pressione, <tex>$H_P$</tex>
<tex>
$$ l = \alpha H_P$$
</tex>
dove <tex>$H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$</tex> e <tex>$\alpha$</tex>
è scelto tra 0.5 e
2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di
convezione può conservare la propria individualità per
tragitti molto superiori a quello per cui la pressione si riduce di
un e-mo. In analogia con la precedente formulazione, la mixing
length può essere anche riferita a l'altezza di scala di
temperatura o a quella di densità. Quest'ultima in
particolare ha in passato goduto di una certa popolarità,
perchè elimina le inversioni di pressione che talora si
manifestano con l'uso <tex>$H_P$</tex>.
Le Figure 2.9 e 2.10 riportano a titolo di esempio l'andamento dei vari gradienti nelle zone subatmosferiche di stelle di sequenza principale di varia massa. Al diminuire della massa stellare aumenta la densità degli strati subatmosferici, aumenta quindi la capacità termica della materie e, come mostrato nelle figure, il gradiente convettivo tende sempre più verso il gradiente adiabatico.
E' importante notare come l'incertezza sull'efficienza della convezione superadiabatica si trasferisca in genere in un incertezza sui raggi stellari, ma non sulle rispettive luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di <tex>$l$</tex> finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. 2.11), Si può calibrare <tex>$\alpha$</tex> richiedendo, ad esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la temperatura efficace) osservato. Si ricava così <tex>$l\simeq 1.8$</tex>. Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi <tex>$\alpha$</tex>.
Notiamo infine come la teoria della mixing length, nei limiti in
cui si accettino le predizioni sulla velocità, possa fornire
anche indicazioni sulla consistenza dell'overshooting. Il tragitto
degli elementi nella zona radiativa è infatti ricavabile
dall'applicazione del teorema delle forze vive alle forze di
frenamento che in tale zona si vengono a creare.
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