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c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi

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c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [24/11/2010 15:52]
marco FBL
c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [08/11/2017 11:36]
marco minimalia
Linea 1: Linea 1:
 ====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ====== ====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ======
  
 +<WRAP justify>
 La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella
 meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia
Linea 24: Linea 25:
 classico delle configurazioni microscopiche. Dal  classico delle configurazioni microscopiche. Dal 
 [[wp.it>​Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg|principio di [[wp.it>​Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg|principio di
-indeterminazione di Heisenberg]] ​<tex>($\Delta p_x \Delta x= h$)</​tex> ​si+indeterminazione di Heisenberg]] (secondo il quale $\Delta p_x \Delta x= h$) si
 ricava che il numero di stati permessi per una particella ricava che il numero di stati permessi per una particella
 contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra
Linea 30: Linea 31:
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-<tex> 
 $$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$ $$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$
-</​tex>​ 
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Linea 45: Linea 44:
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   * [[wp.it>​Fermioni]]:​ particelle a [[wp.it>​spin]] (momento angolare intrinseco) semiintero, quali elettroni, protoni e neutroni,   * [[wp.it>​Fermioni]]:​ particelle a [[wp.it>​spin]] (momento angolare intrinseco) semiintero, quali elettroni, protoni e neutroni,
-  * [[wp.it>​Bosoni]]:​ particelle a spin intero o nullo, quali [[wp.it>​fotoni]],​ [[wp.it>​mesoni]],​ nuclei di <tex>$He^3$</​tex>​.+  * [[wp.it>​Bosoni]]:​ particelle a spin intero o nullo, quali [[wp.it>​fotoni]],​ [[wp.it>​mesoni]],​ nuclei di $He^3$.
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 {{:​c03:​figura_03_12.jpg?​500}} {{:​c03:​figura_03_12.jpg?​500}}
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-**Figura 3.12** Il valore del parametro ​<tex>$\alpha$</​tex> ​al variare +**Figura 3.12** Il valore del parametro $\alpha$ al variare 
-di <tex>$\rho T^{-3/2}/ \mu_e$</​tex>​+di $\rho T^{-3/2}/ \mu_e$
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 {{:​c03:​figura_03_13.jpg?​500}} {{:​c03:​figura_03_13.jpg?​500}}
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-**Figura 3.13** Mappatura nel piano <tex>$\rho / \mu_e$</​tex>​, T del +**Figura 3.13** Mappatura nel piano $\rho / \mu_e$, T del 
-valore del parametro di degenerazione ​<tex>$\Phi$ = -$\alpha$</​tex>​+valore del parametro di degenerazione $\Phi$ = -$\alpha$
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Linea 66: Linea 65:
 particella, da cui discende che non più di due elettroni (con particella, da cui discende che non più di due elettroni (con
 spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè
-<tex>$g(P)=8\pi p^2/h^3$</​tex>​. Se ne trae la +$g(P)=8\pi p^2/h^3$. Se ne trae la 
 [[wp.it>​Statistica_di_Fermi-Dirac|statistica di Fermi-Dirac]], ​ [[wp.it>​Statistica_di_Fermi-Dirac|statistica di Fermi-Dirac]], ​
-secondo la quale, detta <tex>$n(p)dp$</​tex> ​la densità di+secondo la quale, detta $n(p)dp$ la densità di
 elettroni tra p e p+dp, elettroni tra p e p+dp,
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-<tex> 
 $$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$ $$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
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-dove l'​indice di occupazione ​<tex>$P(E)$</​tex> ​di uno stato è dato da+dove l'​indice di occupazione $P(E)$ di uno stato è dato da
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-<tex> 
 $$P(E)=1/​(e^{\alpha +E/kT}+1)$$ $$P(E)=1/​(e^{\alpha +E/kT}+1)$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
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-e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni ​<tex>$n_e$</​tex>​ +e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni $n_e$ 
-e e della temperatura T, il valore di <tex>$\alpha$</​tex> ​resta determinato+e e della temperatura T, il valore di $\alpha$ resta determinato
 della condizione della condizione
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-<tex> 
 $$\int n(p)dp=n_e $$ $$\int n(p)dp=n_e $$
-</​tex>​ 
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-Poichè ​<tex>$\rho= n_e \mu_e H$</​tex>​, il valore di <tex>$\alpha$</​tex> ​resta fissato +Poichè $\rho= n_e \mu_e H$, il valore di $\alpha$ resta fissato 
-per ogni coppia di valori ​<tex>$T, \rho/\mu_e$</​tex> ​ ​(Figg. 3.12, 3.13) +per ogni coppia di valori $T, \rho/​\mu_e$ ​ (Figg. 3.12, 3.13) 
-Si noti come in ogni caso <tex>$P(E)\leq 1$</​tex> ​come +Si noti come in ogni caso $P(E)\leq 1$ come 
-vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di <tex>$n_e$</​tex>​ +vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di $n_e$ 
-decresce ​<tex>$\alpha$</​tex>​, che da valori grandi e positivi (gas classico)+decresce $\alpha$, che da valori grandi e positivi (gas classico)
 raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas
 classico P(E)<<​ 1 per tutte le energie. Nel caso completamente classico P(E)<<​ 1 per tutte le energie. Nel caso completamente
-degenere ​<tex>$\alpha << 0$</​tex> ​e+degenere $\alpha << 0$ e
 \\ \\
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-P(E)=1 per  ​<tex>$$E/​kT<​|\alpha|$$</​tex>​+P(E)=1 per  $$E/​kT<​|\alpha|$$
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-P(E)=0 per  ​<tex>$$E/​kT>​|\alpha|$$</​tex>​+P(E)=0 per  $$E/​kT>​|\alpha|$$
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 cioè tutti gli stati sono occupati sino all'​energia ​ cioè tutti gli stati sono occupati sino all'​energia ​
-<tex>$$ E = |\alpha kT|$$</​tex>​, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso+$$ E = |\alpha kT|$$, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso
 \\ \\
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-<tex> 
 $$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$ $$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
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Linea 129: Linea 120:
  
 Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica,​ si ha Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica,​ si ha
-<tex>$E=p^2/​2m_e$</​tex> ​da cui+$E=p^2/​2m_e$ da cui
 \\ \\
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-<tex> 
 $$n_e=\int n(p)dp = \frac $$n_e=\int n(p)dp = \frac
 {8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha + {8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha +
 p^2/​2m_ekT}+1}$$ p^2/​2m_ekT}+1}$$
-</​tex>​ 
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-con la sostituzione ​<tex>$x=p^2/​2m_ekT$</​tex> ​si ottiene+con la sostituzione $x=p^2/​2m_ekT$ si ottiene
 \\ \\
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-<tex> 
 $$n_e= \frac $$n_e= \frac
 {4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/​2} \int_{0}^{\infty}\frac {x^{1/2}dx} {4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/​2} \int_{0}^{\infty}\frac {x^{1/2}dx}
 {e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{h^3} {e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{h^3}
 F_{1/​2}(\alpha)$$ F_{1/​2}(\alpha)$$
-</​tex>​ 
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-dove <tex>$F_{1/​2}(\alpha)$</​tex>​, come definito dalle precedenti relazioni,+dove $F_{1/​2}(\alpha)$,​ come definito dalle precedenti relazioni,
 prende il nome di //funzione "​1/​2"​ di Fermi//. Come già prende il nome di //funzione "​1/​2"​ di Fermi//. Come già
-ricavato per il caso del gas perfetto ​<tex>($\rightarrow A2.1$)</​tex>​, la+ricavato per il caso del gas perfetto ($\rightarrow A2.1$), la
 pressione elettronica discende dal momento trasportato,​ da cui pressione elettronica discende dal momento trasportato,​ da cui
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-<tex> 
 $$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac $$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac
 {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$ {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$
-</​tex>​ 
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 \\ \\
-con analoga definizione della funzione di Fermi <tex>$F_{3/2}$</​tex>​. Per la+con analoga definizione della funzione di Fermi $F_{3/2}$. Per la
 pressione del gas si può quindi porre pressione del gas si può quindi porre
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-<tex> 
 $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$ $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$
-</​tex>​ 
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-Ricordando che <tex>$n_e=\rho/​\mu_e H$</​tex> ​si ottiene infine+Ricordando che $n_e=\rho/​\mu_e H$ si ottiene infine
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-<tex> 
 $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$ $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$
-</​tex>​ 
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-dove <tex>$$\Phi(\alpha)=2/​3(F_{3/​2}/​F_{1/​2})$$</​tex>​+dove $$\Phi(\alpha)=2/​3(F_{3/​2}/​F_{1/​2})$$
 rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla
 degenerazione elettronica. degenerazione elettronica.
 Per ogni coppia di valori Per ogni coppia di valori
-<tex>$$\rho,T$$</​tex> ​è possibile ricavare il valore di <tex>$$\alpha$$</​tex> ​ e per ogni +$$\rho,T$$ è possibile ricavare il valore di $$\alpha$$ ​ e per ogni 
-<tex>$$\alpha$$</​tex> ​ottenere P dalle correnti tabulazioni di <tex>$F_{1/2}$</​tex> ​+$$\alpha$$ ottenere P dalle correnti tabulazioni di $F_{1/2}$ e 
-<tex>$F_{3/2}$</​tex> ​(Fig. 3.14).+$F_{3/2}$ (Fig. 3.14).
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Linea 191: Linea 172:
 {{:​c03:​figura_03_14.jpg?​400}} {{:​c03:​figura_03_14.jpg?​400}}
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-**Figura 3.14** Il rapporto 2/3 <tex>F$_{3/​2}$/​F$_{3/​2}$</​tex>​, che+**Figura 3.14** Il rapporto 2/3 F$_{3/​2}$/​F$_{3/​2}$,​ che
 rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas
-perfetto, in funzione del parametro ​<tex>$\alpha$.</​tex>​+perfetto, in funzione del parametro $\alpha$.
 \\ \\
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 In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di
-degenerazione// ​<tex>$\Psi= -\alpha$</​tex>​. Si può mostrare che <tex>$\Psi kT$</​tex>​+degenerazione//​ $\Psi= -\alpha$. Si può mostrare che $\Psi kT$
 fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per
-<tex>$$\Psi < -4$$</​tex> ​il gas di elettroni ha un comportamento classico,  +$$\Psi < -4$$ il gas di elettroni ha un comportamento classico,  
-<tex>$$-4 < \Psi < 4 $$</​tex> ​rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre +$$-4 < \Psi < 4 $$ rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre 
-per <tex>$$\Psi > 4$$</​tex> ​nel gas domina la pressione di degenerazione.+per $$\Psi > 4$$ nel gas domina la pressione di degenerazione.
  
 Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica
 modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato
 nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione ​ nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione ​
-<tex>($\rightarrow A2.1$)</​tex>​. Utilizzando ​ la stessa linea di ragionamento adottata in+($\rightarrow A2.1$). Utilizzando ​ la stessa linea di ragionamento adottata in
 quella occasione, ​ dovremo portare quella occasione, ​ dovremo portare
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-<tex> 
 $$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$ $$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$
-</​tex>​ 
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Linea 218: Linea 197:
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-<tex> 
 $$TdS=C_P dT - E_P dP$$ $$TdS=C_P dT - E_P dP$$
-</​tex>​ 
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Linea 226: Linea 203:
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-<tex> 
 $$\rho=\rho(\Psi,​T)$$ $$\rho=\rho(\Psi,​T)$$
-</​tex>​ 
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-<tex> 
 $$P=P_e(\Psi,​T)+P_i(\rho,​T)+P_r(T) = P(\Psi,T)$$ $$P=P_e(\Psi,​T)+P_i(\rho,​T)+P_r(T) = P(\Psi,T)$$
-</​tex>​ 
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 \\ \\
 Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile
-ottenere ​<tex>$d\Psi$</​tex> ​in funzione di P, T,  ​<tex>\rho, \Psi</​tex>​, dP, dT, e+ottenere $d\Psi$ in funzione di P, T,  ​$\rho$$\Psi$, dP, dT, e
 utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi
 \\ \\
 \\ \\
-<tex> 
 $$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$ $$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$
-</​tex>​ 
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Linea 249: Linea 220:
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-<tex> 
 $$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)^2}{L(\Psi)}-\frac {15}{4}\beta)$$ $$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)^2}{L(\Psi)}-\frac {15}{4}\beta)$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
 \\ \\
-<tex> 
 $$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)}{L(\Psi)}-\frac {3}{2})$$ $$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)}{L(\Psi)}-\frac {3}{2})$$
-</​tex>​ 
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Linea 262: Linea 229:
 \\ \\
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-<tex> 
 $$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/​2}(\Psi)}{F_{-1/​2}(\Psi}$$ $$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/​2}(\Psi)}{F_{-1/​2}(\Psi}$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
 \\ \\
- <tex>$\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/​P$</​tex> ​essendo P, come di consueto, ​+e $\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/​P$ essendo P, come di consueto, ​
 la pressione totale. Al limite di non degenerazione la pressione totale. Al limite di non degenerazione
-<tex>($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$</​tex> ​tende a <tex>$1/\mu_i + 1/\mu_e$</​tex> ​+($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$ tende a $1/\mu_i + 1/​\mu_e$ ​
 e le relazioni e le relazioni
 precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere. precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere.
Linea 276: Linea 241:
 Nel caso di //completa degenerazione//​ è facile ricavare Nel caso di //completa degenerazione//​ è facile ricavare
 direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non
-relativistico per la quantità di moto  si ha <tex>$p=m_e v_e$</​tex>​, da cui+relativistico per la quantità di moto  si ha $p=m_e v_e$, da cui
 \\ \\
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-<tex> 
 $$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$ $$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$
-</​tex>​ 
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Linea 287: Linea 250:
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-<tex> 
 $$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$ $$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
 \\ \\
-ricordando che <tex>$n_e = \rho /\mu_e H$</​tex> ​si ricava infine +ricordando che $n_e = \rho /\mu_e H$ si ricava infine 
-<tex> +$$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/​3}\frac {h^2}{5 m_e H^{5/3}} (\frac 
- $$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/​3}\frac {h^2}{5 m_e H^{5/3}} (\frac +{\rho}{\mu_e})^{5/​3}$$.
- ​{\rho}{\mu_e})^{5/​3}$$. +
-</​tex>​+
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Linea 302: Linea 261:
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 \\ \\
-<tex> 
  $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/​c^2)^{1/​2}} \ {\rm da \ cui} \ v_e = \frac {pc}{[(m_e c)^2 + p^2]^{1/​2}}$$  $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/​c^2)^{1/​2}} \ {\rm da \ cui} \ v_e = \frac {pc}{[(m_e c)^2 + p^2]^{1/​2}}$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
 \\ \\
Linea 311: Linea 268:
 \\ \\
 \\ \\
-<tex> 
 $$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/​3} \frac {hc}{H^{4/​3}} (\frac {\rho}{\mu_e})^{4/​3}$$ $$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/​3} \frac {hc}{H^{4/​3}} (\frac {\rho}{\mu_e})^{4/​3}$$
-</​tex>​ 
 \\ \\
 \\ \\
 +</​WRAP>​
 <fbl> <fbl>
 \\ \\
c03/degenerazione_elettronica_gas_fermi.txt · Ultima modifica: 08/11/2017 11:36 da marco