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c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi

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marco
c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [08/11/2017 11:36] (versione attuale)
marco minimalia
Linea 1: Linea 1:
 +====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ======
  
 +<WRAP justify>
 +La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella
 +meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia
 +indissolubilmente connesso col concetto di 
 +[[wp>​Thermal_equilibrium#​Thermal_equilibrium|equilibrio termico]].Il
 +principio fondamentale è che per ogni prefissato insieme di N
 +particelle contenute in un volume V e di assegnata energia totale E
 +//tutte le possibili configurazioni microscopiche compatibili con le
 +assegnate condizioni sono equiprobabili//​. Ne segue che il
 +macrostato che finisce con il realizzarsi è  quello cui
 +corrisponde la massima probabilità,​ cioè il maggior numero di
 +microstati. E' questo quello che noi chiamiamo //​equilibrio termico//.
 +L'​obiettivo primario della [[wp.it>​meccanica statistica]] è dunque quello
 +di valutare tutti i diversi possibili stati microscopici
 +corrispondenti ad una assegnata energia totale E delle particelle
 +del sistema. E' noto come su questa base si giunga alla nota
 +[[wp.it>​Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann|distribuzione di Maxwell-Boltzmann]] ​
 +per la velocità delle
 +particelle a prefissata temperatura T.
 +
 +La considerazione della natura quantistica delle particelle
 +introduce, salvando il principio, notevoli modifiche al calcolo
 +classico delle configurazioni microscopiche. Dal 
 +[[wp.it>​Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg|principio di
 +indeterminazione di Heisenberg]] (secondo il quale $\Delta p_x \Delta x= h$) si
 +ricava che il numero di stati permessi per una particella
 +contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra
 +p e p+dp è dato da
 +\\
 +\\
 +$$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$
 +\\
 +\\
 +dove g(p) rappresenta la //densità degli stati//. La
 +distribuzione delle particelle in tali possibili stati deve essere
 +valutata con l'​ulteriore avvertenza che la meccanica quantistica
 +opera su particelle //​indistinguibili//,​ il che implica che non
 +si devono considerare distinti due stati se due particelle si sono
 +solo scambiate di posto. Tale distribuzione dipende infine da
 +proprietà globali delle particelle che, in natura, appartengono
 +ad una delle due  classi:
 +\\
 +  * [[wp.it>​Fermioni]]:​ particelle a [[wp.it>​spin]] (momento angolare intrinseco) semiintero, quali elettroni, protoni e neutroni,
 +  * [[wp.it>​Bosoni]]:​ particelle a spin intero o nullo, quali [[wp.it>​fotoni]],​ [[wp.it>​mesoni]],​ nuclei di $He^3$.
 +\\
 +\\
 +{{:​c03:​figura_03_12.jpg?​500}}
 +\\
 +**Figura 3.12** Il valore del parametro $\alpha$ al variare
 +di $\rho T^{-3/2}/ \mu_e$
 +\\
 +\\
 +{{:​c03:​figura_03_13.jpg?​500}}
 +\\
 +**Figura 3.13** Mappatura nel piano $\rho / \mu_e$, T del
 +valore del parametro di degenerazione $\Phi$ = -$\alpha$
 +\\
 +\\
 +
 +Per le particelle a spin semiintero sussiste ​ l'​ulteriore
 +condizione ([[wp.it>​principio di esclusione di Pauli]]) secondo la
 +quale uno stato non può essere occupato da più di una
 +particella, da cui discende che non più di due elettroni (con
 +spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè
 +$g(P)=8\pi p^2/h^3$. Se ne trae la 
 +[[wp.it>​Statistica_di_Fermi-Dirac|statistica di Fermi-Dirac]], ​
 +secondo la quale, detta $n(p)dp$ la densità di
 +elettroni tra p e p+dp,
 +\\
 +\\
 +$$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$
 +\\
 +\\
 +dove l'​indice di occupazione $P(E)$ di uno stato è dato da
 +\\
 +\\
 +$$P(E)=1/​(e^{\alpha +E/kT}+1)$$
 +\\
 +\\
 +e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni $n_e$
 +e e della temperatura T, il valore di $\alpha$ resta determinato
 +della condizione
 +\\
 +\\
 +$$\int n(p)dp=n_e $$
 +\\
 +\\
 +Poichè $\rho= n_e \mu_e H$, il valore di $\alpha$ resta fissato
 +per ogni coppia di valori $T, \rho/​\mu_e$ ​ (Figg. 3.12, 3.13)
 +Si noti come in ogni caso $P(E)\leq 1$ come
 +vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di $n_e$
 +decresce $\alpha$, che da valori grandi e positivi (gas classico)
 +raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas
 +classico P(E)<<​ 1 per tutte le energie. Nel caso completamente
 +degenere $\alpha << 0$ e
 +\\
 +\\
 +P(E)=1 per  $$E/​kT<​|\alpha|$$
 +\\ 
 +P(E)=0 per  $$E/​kT>​|\alpha|$$
 +\\ 
 +\\
 +cioè tutti gli stati sono occupati sino all'​energia ​
 +$$ E = |\alpha kT|$$, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso
 +\\
 +\\
 +$$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$
 +\\
 +\\
 +che mostra come al crescere di n<​sub>​e</​sub>​ cresce l'​energia massima
 +raggiunta dagli elettroni. Tale accadimento è subito compreso
 +osservando che in degenerazione completa tutti gli stati ad
 +energia minore sono occupati, e ove si spingano altri elettroni
 +nell'​unità di volume essi devono andare ad occupare stati ad
 +alta energia. Si comprende anche come al crescere di n<​sub>​e</​sub>​ si
 +giunga infine a spingere gli elettroni ad energie relativistiche
 +anche a basse temperature.
 +
 +Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica,​ si ha
 +$E=p^2/​2m_e$ da cui
 +\\
 +\\
 +$$n_e=\int n(p)dp = \frac
 +{8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha +
 +p^2/​2m_ekT}+1}$$
 +\\
 +\\
 +con la sostituzione $x=p^2/​2m_ekT$ si ottiene
 +\\
 +\\
 +$$n_e= \frac
 +{4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/​2} \int_{0}^{\infty}\frac {x^{1/2}dx}
 +{e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{h^3}
 +F_{1/​2}(\alpha)$$
 +\\
 +\\
 +dove $F_{1/​2}(\alpha)$,​ come definito dalle precedenti relazioni,
 +prende il nome di //funzione "​1/​2"​ di Fermi//. Come già
 +ricavato per il caso del gas perfetto ($\rightarrow A2.1$), la
 +pressione elettronica discende dal momento trasportato,​ da cui
 +\\
 +\\
 +$$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac
 +{8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$
 +\\
 +\\
 +con analoga definizione della funzione di Fermi $F_{3/2}$. Per la
 +pressione del gas si può quindi porre
 +\\
 +\\
 +$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/​2}}{3h^3}kT F_{3/​2}(\alpha)$$
 +\\
 +\\
 +Ricordando che $n_e=\rho/​\mu_e H$ si ottiene infine
 +\\
 +\\
 +$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$
 +\\
 +\\
 +dove $$\Phi(\alpha)=2/​3(F_{3/​2}/​F_{1/​2})$$
 +rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla
 +degenerazione elettronica.
 +Per ogni coppia di valori
 +$$\rho,T$$ è possibile ricavare il valore di $$\alpha$$ ​ e per ogni
 +$$\alpha$$ ottenere P dalle correnti tabulazioni di $F_{1/2}$ e
 +$F_{3/2}$ (Fig. 3.14).
 +\\
 +\\
 +
 +{{:​c03:​figura_03_14.jpg?​400}}
 +\\
 +**Figura 3.14** Il rapporto 2/3 F$_{3/​2}$/​F$_{3/​2}$,​ che
 +rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas
 +perfetto, in funzione del parametro $\alpha$.
 +\\
 +\\
 +In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di
 +degenerazione//​ $\Psi= -\alpha$. Si può mostrare che $\Psi kT$
 +fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per
 +$$\Psi < -4$$ il gas di elettroni ha un comportamento classico, ​
 +$$-4 < \Psi < 4 $$ rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre
 +per $$\Psi > 4$$ nel gas domina la pressione di degenerazione.
 +
 +Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica
 +modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato
 +nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione ​
 +($\rightarrow A2.1$). Utilizzando ​ la stessa linea di ragionamento adottata in
 +quella occasione, ​ dovremo portare
 +\\
 +\\
 +$$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$
 +\\
 +\\
 +nella forma
 +\\
 +\\
 +$$TdS=C_P dT - E_P dP$$
 +\\
 +\\
 +ricordando però che ora
 +\\
 +\\
 +$$\rho=\rho(\Psi,​T)$$
 +\\
 +\\
 +$$P=P_e(\Psi,​T)+P_i(\rho,​T)+P_r(T) = P(\Psi,T)$$
 +\\
 +\\
 +Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile
 +ottenere $d\Psi$ in funzione di P, T,  $\rho$, $\Psi$, dP, dT, e
 +utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi
 +\\
 +\\
 +$$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$
 +\\
 +\\
 +si ottiene infine
 +\\
 +\\
 +$$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)^2}{L(\Psi)}-\frac {15}{4}\beta)$$
 +\\
 +\\
 +$$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /​2)}{L(\Psi)}-\frac {3}{2})$$
 +\\
 +\\
 +dove
 +\\
 +\\
 +$$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/​2}(\Psi)}{F_{-1/​2}(\Psi}$$
 +\\
 +\\
 +e $\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/​P$ essendo P, come di consueto, ​
 +la pressione totale. Al limite di non degenerazione
 +($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$ tende a $1/\mu_i + 1/​\mu_e$ ​
 +e le relazioni
 +precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere.
 +\\
 +\\
 +Nel caso di //completa degenerazione//​ è facile ricavare
 +direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non
 +relativistico per la quantità di moto  si ha $p=m_e v_e$, da cui
 +\\
 +\\
 +$$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$
 +\\
 +\\
 +e poiché
 +\\
 +\\
 +$$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$
 +\\
 +\\
 +ricordando che $n_e = \rho /\mu_e H$ si ricava infine
 +$$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/​3}\frac {h^2}{5 m_e H^{5/3}} (\frac
 +{\rho}{\mu_e})^{5/​3}$$.
 +\\
 +\\
 +Nel caso relativistico
 +\\
 +\\
 + $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/​c^2)^{1/​2}} \ {\rm da \ cui} \ v_e = \frac {pc}{[(m_e c)^2 + p^2]^{1/​2}}$$
 +\\
 +\\
 +dalla quale, con percorso analogo al caso precedente non
 +relativistico
 +\\
 +\\
 +$$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/​3} \frac {hc}{H^{4/​3}} (\frac {\rho}{\mu_e})^{4/​3}$$
 +\\
 +\\
 +</​WRAP>​
 +<fbl>
 +\\
 +\\
 +----
 +\\
 +~~DISQUS~~ ​