c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ====== | ====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella | La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella | ||
meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia | meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia | ||
Linea 24: | Linea 25: | ||
classico delle configurazioni microscopiche. Dal | classico delle configurazioni microscopiche. Dal | ||
[[wp.it> | [[wp.it> | ||
- | indeterminazione di Heisenberg]] | + | indeterminazione di Heisenberg]] (secondo il quale $\Delta p_x \Delta x= h$) si |
ricava che il numero di stati permessi per una particella | ricava che il numero di stati permessi per una particella | ||
contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra | contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra | ||
Linea 30: | Linea 31: | ||
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- | <tex> | ||
$$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$ | $$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 45: | Linea 44: | ||
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* [[wp.it> | * [[wp.it> | ||
- | * [[wp.it> | + | * [[wp.it> |
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{{: | {{: | ||
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- | **Figura 3.12** Il valore del parametro | + | **Figura 3.12** Il valore del parametro $\alpha$ al variare |
- | di <tex>$\rho T^{-3/2}/ \mu_e$</ | + | di $\rho T^{-3/2}/ \mu_e$ |
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{{: | {{: | ||
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- | **Figura 3.13** Mappatura nel piano <tex>$\rho / \mu_e$</ | + | **Figura 3.13** Mappatura nel piano $\rho / \mu_e$, T del |
- | valore del parametro di degenerazione | + | valore del parametro di degenerazione $\Phi$ = -$\alpha$ |
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Linea 66: | Linea 65: | ||
particella, da cui discende che non più di due elettroni (con | particella, da cui discende che non più di due elettroni (con | ||
spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè | spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè | ||
- | <tex>$g(P)=8\pi p^2/h^3$</ | + | $g(P)=8\pi p^2/h^3$. Se ne trae la |
[[wp.it> | [[wp.it> | ||
- | secondo la quale, detta <tex>$n(p)dp$</ | + | secondo la quale, detta $n(p)dp$ la densità di |
elettroni tra p e p+dp, | elettroni tra p e p+dp, | ||
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- | <tex> | ||
$$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$ | $$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$ | ||
- | </ | ||
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- | dove l' | + | dove l' |
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- | <tex> | ||
$$P(E)=1/ | $$P(E)=1/ | ||
- | </ | ||
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- | e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni | + | e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni $n_e$ |
- | e e della temperatura T, il valore di <tex>$\alpha$</ | + | e e della temperatura T, il valore di $\alpha$ resta determinato |
della condizione | della condizione | ||
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- | <tex> | ||
$$\int n(p)dp=n_e $$ | $$\int n(p)dp=n_e $$ | ||
- | </ | ||
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- | Poichè | + | Poichè $\rho= n_e \mu_e H$, il valore di $\alpha$ resta fissato |
- | per ogni coppia di valori | + | per ogni coppia di valori $T, \rho/ |
- | Si noti come in ogni caso <tex>$P(E)\leq 1$</ | + | Si noti come in ogni caso $P(E)\leq 1$ come |
- | vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di <tex>$n_e$</ | + | vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di $n_e$ |
- | decresce | + | decresce $\alpha$, che da valori grandi e positivi (gas classico) |
raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas | raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas | ||
classico P(E)<< | classico P(E)<< | ||
- | degenere | + | degenere $\alpha << 0$ e |
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- | P(E)=1 per | + | P(E)=1 per $$E/ |
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- | P(E)=0 per | + | P(E)=0 per $$E/ |
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cioè tutti gli stati sono occupati sino all' | cioè tutti gli stati sono occupati sino all' | ||
- | <tex>$$ E = |\alpha kT|$$</ | + | $$ E = |\alpha kT|$$, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso |
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- | <tex> | ||
$$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$ | $$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 129: | Linea 120: | ||
Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica, | Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica, | ||
- | <tex>$E=p^2/ | + | $E=p^2/ |
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- | <tex> | ||
$$n_e=\int n(p)dp = \frac | $$n_e=\int n(p)dp = \frac | ||
{8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha + | {8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha + | ||
p^2/ | p^2/ | ||
- | </ | ||
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- | con la sostituzione | + | con la sostituzione $x=p^2/ |
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- | <tex> | ||
$$n_e= \frac | $$n_e= \frac | ||
{4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/ | {4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/ | ||
{e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | {e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
F_{1/ | F_{1/ | ||
- | </ | ||
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- | dove <tex>$F_{1/ | + | dove $F_{1/ |
prende il nome di //funzione " | prende il nome di //funzione " | ||
- | ricavato per il caso del gas perfetto | + | ricavato per il caso del gas perfetto ($\rightarrow A2.1$), la |
pressione elettronica discende dal momento trasportato, | pressione elettronica discende dal momento trasportato, | ||
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- | <tex> | ||
$$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac | $$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac | ||
{8\pi(2m_ekT)^{3/ | {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
- | </ | ||
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- | con analoga definizione della funzione di Fermi <tex>$F_{3/2}$</ | + | con analoga definizione della funzione di Fermi $F_{3/2}$. Per la |
pressione del gas si può quindi porre | pressione del gas si può quindi porre | ||
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- | <tex> | ||
$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/ | ||
- | </ | ||
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- | Ricordando che <tex>$n_e=\rho/ | + | Ricordando che $n_e=\rho/ |
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- | <tex> | ||
$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$ | $$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$ | ||
- | </ | ||
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- | dove <tex>$$\Phi(\alpha)=2/ | + | dove $$\Phi(\alpha)=2/ |
rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla | rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla | ||
degenerazione elettronica. | degenerazione elettronica. | ||
Per ogni coppia di valori | Per ogni coppia di valori | ||
- | <tex>$$\rho,T$$</ | + | $$\rho,T$$ è possibile ricavare il valore di $$\alpha$$ |
- | <tex>$$\alpha$$</ | + | $$\alpha$$ ottenere P dalle correnti tabulazioni di $F_{1/2}$ e |
- | <tex>$F_{3/2}$</ | + | $F_{3/2}$ (Fig. 3.14). |
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Linea 191: | Linea 172: | ||
{{: | {{: | ||
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- | **Figura 3.14** Il rapporto 2/3 <tex>F$_{3/ | + | **Figura 3.14** Il rapporto 2/3 F$_{3/ |
rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas | rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas | ||
- | perfetto, in funzione del parametro | + | perfetto, in funzione del parametro $\alpha$. |
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In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di | In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di | ||
- | degenerazione// | + | degenerazione// |
fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per | fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per | ||
- | <tex>$$\Psi < -4$$</ | + | $$\Psi < -4$$ il gas di elettroni ha un comportamento classico, |
- | <tex>$$-4 < \Psi < 4 $$</ | + | $$-4 < \Psi < 4 $$ rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre |
- | per <tex>$$\Psi > 4$$</ | + | per $$\Psi > 4$$ nel gas domina la pressione di degenerazione. |
Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica | Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica | ||
modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato | modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato | ||
nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione | nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione | ||
- | <tex>($\rightarrow A2.1$)</ | + | ($\rightarrow A2.1$). Utilizzando |
quella occasione, | quella occasione, | ||
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- | <tex> | ||
$$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | $$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 218: | Linea 197: | ||
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- | <tex> | ||
$$TdS=C_P dT - E_P dP$$ | $$TdS=C_P dT - E_P dP$$ | ||
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Linea 226: | Linea 203: | ||
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- | <tex> | ||
$$\rho=\rho(\Psi, | $$\rho=\rho(\Psi, | ||
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- | <tex> | ||
$$P=P_e(\Psi, | $$P=P_e(\Psi, | ||
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Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile | Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile | ||
- | ottenere | + | ottenere $d\Psi$ in funzione di P, T, |
utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi | utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi | ||
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- | <tex> | ||
$$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$ | $$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 249: | Linea 220: | ||
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- | <tex> | ||
$$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | $$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | ||
- | </ | ||
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- | <tex> | ||
$$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | $$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta / | ||
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Linea 262: | Linea 229: | ||
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- | <tex> | ||
$$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/ | $$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/ | ||
- | </ | ||
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- | e <tex>$\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/ | + | e $\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/ |
la pressione totale. Al limite di non degenerazione | la pressione totale. Al limite di non degenerazione | ||
- | <tex>($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$</ | + | ($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$ tende a $1/\mu_i + 1/ |
e le relazioni | e le relazioni | ||
precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere. | precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere. | ||
Linea 276: | Linea 241: | ||
Nel caso di //completa degenerazione// | Nel caso di //completa degenerazione// | ||
direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non | direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non | ||
- | relativistico per la quantità di moto si ha <tex>$p=m_e v_e$</ | + | relativistico per la quantità di moto si ha $p=m_e v_e$, da cui |
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- | <tex> | ||
$$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$ | $$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 287: | Linea 250: | ||
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- | <tex> | ||
$$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$ | $$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$ | ||
- | </ | ||
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- | ricordando che <tex>$n_e = \rho /\mu_e H$</ | + | ricordando che $n_e = \rho /\mu_e H$ si ricava infine |
- | <tex> | + | $$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/ |
- | $$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/ | + | {\rho}{\mu_e})^{5/ |
- | | + | |
- | </ | + | |
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Linea 302: | Linea 261: | ||
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- | <tex> | ||
$$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/ | $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/ | ||
- | </ | ||
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Linea 311: | Linea 268: | ||
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- | <tex> | ||
$$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/ | $$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/ | ||
- | </ | ||
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- | <fbl> | ||
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~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ |
c03/degenerazione_elettronica_gas_fermi.1290610354.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)