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c03:generazione_di_energia

3.4 Generazione di energia

Nelle equazioni dell'equilibrio la condizione di conservazione dell'energia interviene attraverso il coefficiente $\varepsilon$, inteso come bilancio energetico per grammo di materia e per secondo. I meccanismi che possono contribuire a tale bilancio sono tre, cuiè d'uso far corrispondere i tre distinti coefficienti:

$\rightarrow \varepsilon_g:$ Trasformazioni termodinamiche della materia,

$\rightarrow \varepsilon_N:$ Produzione di energia per reazioni di fusione nucleare,

$\rightarrow \varepsilon_\nu:$ Perdita di energia per produzione di neutrini.

Il coefficiente di produzione di energia risulta ovviamente definito come somma dei relativi contributi:

$$\varepsilon = \varepsilon_g + \varepsilon_N -\varepsilon_{\nu}$$.

3.4.1 Il bilancio termico della materia

Al primo meccanismo corrisponde il calore assorbito o prodotto a causa delle trasformazioni termodinamiche subite dalla materia stellare. Di norma indicato, ma impropriamente, come produzione di energia gravitazionale, in esso deve essere compreso non solo il lavoro delle forze di pressione ma anche le variazioni di energia interna del plasma stellare. Il bilancio termico per grammo di materia è immediatamente fornito dal primo principio della termodinamica che con formulazione intensiva può essere scritto

$$dQ = dU +p d(1/\rho)$$

dove U rappresenta l'energia interna per grammo di materia e 1/$\rho$ è il volume corrispondente. Introducendo l'entropia per grammo di materia S si ricava

$$ \varepsilon_g = -\frac {dQ}{dt} = -T \frac {dS}{dt}=- T [(\frac {dS}{dP})_T \frac {dP}{dt}+ (\frac {dS}{dT})_P \frac {dT}{dt}] = E_P \dot P - C_P \dot T$$

I coefficienti $E_P$</tex> e $C_P$ delle derivate temporali sono facilmente ricavabili nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione ($\rightarrow A2.4$). Nel caso generale essi vengono calcolati assieme all'equazione di stato e forniti anch'essi sotto forma tabulare. Si noti come la presenza delle derivate temporali implichi che laddove $\varepsilon_g$ non sia nullo l'integrazione di una struttura stellare richiede precise informazioni sulla passata storia temporale di P e T lungo tutta la struttura della stella.

3.4.2 Energia Nucleare

Ad alte temperature due o più nuclei leggeri possono arrivare in contatto, fondendosi per formare un nucleo più massiccio con un rilascio di energia ($"Q"$ della reazione) dato dalla differenza tra le masse iniziali e quelle dei prodotti di reazione secondo la nota relazione $E=mc^2$. E' subito da notare al proposito che in natura la massa media per nucleone decresce al crescere del numero atomico A dall'idrogeno sino al nucleo del Ferro (Fe), per risalire progressivamente per A ancora maggiori. Se ne ricava che per il Fe è massima l'energia di legame per nucleone (Fig. 3.7) cioè l'energia che occorre fornire ai nucleoni per portarli allo stato libero e, quindi, alle masse caratteristiche dei nucleoni liberi. Ne segue anche che reazioni di fusione nucleare sono esoenergetiche sino alla formazione di Fe. La fusione di due nuclei di Fe, ad es., richiederebbe invece l'assorbimento dell'energia necessaria per portare i nucleoni alla maggiore massa. Si comprende così come per elementi pesanti, quale l'Uranio, risultino esoenergetiche non le reazioni di fusione ma quelle di fissione, cioè di rottura del nucleo in due o più frammenti.

figura03_07.jpg
Figura 3.7 L'energia di massa per nucleone al variare del numero di nucleoni (numero atomico) in nuclidi stabili.

L'energia ceduta da una reazione si presenta sotto forma di energia dei prodotti di reazione. Se osserviamo una tipica reazione di fusione di interesse stellare (fusione di due protoni (p) in un nucleo di deuterio (D))

$$p + p \rightarrow D + e^+ + \nu_e$$

troviamo l'energia rilasciata sotto forma di energia cinetica dei prodotti di reazione e nella produzione dell'elettrone positivo. Quest'ultima particella è destinata ad annichilarsi con un elettrone negativo

$$e^+ +e^- \rightarrow 2\gamma$$

così che la produzione del positrone corrisponde, come bilancio netto energetico, alla produzione di due $\gamma$ di energia complessiva pari all'energia delle masse a riposo degli elettroni annichilati ($2m_ec^2$) più l'energia cinetica delle due particelle.

Il $\gamma$ ed il deutone D vengono rapidamente termalizzati, cedendo così la loro energia alla struttura. Questo non avviene per il neutrino elettronico $\nu_e$, particella debole il cui cammino libero medio è ben superiore alle dimensioni stellari. L'energia $Q^*$ acquisita dalla struttura è quindi fornita dal $Q$ della reazione meno l'energia (media) portata dal neutrino. Ove sia noto il numero <tex>N</tex> di reazioni nucleari che avvengono per unità di tempo e di volume, il coefficiente di energia nucleare sarà fornito, per ogni prefissata reazione, dalla relazione

$$\varepsilon_N = \frac {N}{\rho}Q^* \ erg \ gr^{-1} \ sec^{-1}$$

3.4.3 Termoneutrini

Ad alte temperature e densità, a fianco della produzione di neutrini nelle reazioni nucleari divengono efficienti meccanismi di produzione di neutrini direttamente a spese del contenuto termico del plasma stellare, cui nel seguito daremo il nome di termoneutrini. La teoria delle interazioni deboli fornisce il quadro di tali interazioni quali provengono anche dalla provata esistenza di correnti neutre :

$$e^-+(Z,A) \rightarrow e^-+(Z,A)+\nu_e+\overline \nu_e \ (br\ddot{a}mstrahlung)$$

$$\gamma+e^- \rightarrow e^-+\nu_e+\overline \nu_e \ (fotoproduzione)$$

$$\gamma \rightarrow e^++e^- \rightarrow \nu_e+ \overline \nu_e \ (da \ coppie)$$

dove tra i processi di Bremsstrahlung è da comprendere anche l'interazione elettrone-elettrone.

E' facile riconoscere come tali processi rappresentino l'analogo di noti processi che coinvolgono elettroni e fotoni, ove si ammetta in uscita una coppia neutrino-antineutrino al posto di fotoni.

$$e^-+(Z,A) \rightarrow e^-+(Z,A)+\gamma \ (br\ddot{a}mstrahlung)$$

$$\gamma+e^- \rightarrow e^-+\gamma \ (scattering)$$

$$\gamma \rightarrow e^++e^- \rightarrow \gamma+\gamma \ (creazione \ e \ annichilazione \ di \ coppie)$$

A densità elevate diviene inoltre efficiente un altro e più complesso canale di produzione di termoneutrini: i neutrini da oscillazione di plasma. Per delinearne il meccanismo, ricordiamo come un fotone non possa decadere direttamente in una coppia di neutrini non potendosi conservare energia e quantità di moto. Da qui l'intervento nei processi di braemstrahlung e di fotoproduzione di un ulteriore particella. Fotoni in un gas ionizzato, quale è l'interno stellare, possono interagire anche con i modi di oscillazione del plasma (la cui quantizzazione conduce al concetto di plasmone) scambiando quantità di moto e divenendo in grado di produrre coppie di neutrini.

La teoria delle interazioni deboli consente di valutare l'efficienza dei vari processi, giungendo così a valutare l'energia depositata in questi neutrini. Si noti come in questi fenomeni, che definiremo di termoproduzione, i neutrini giocano un ruolo differente da quanto già esaminato nel caso dei neutrini da reazioni di fusione nucleari. Nella fusione infatti i neutrini semplicemente “taglieggiano” l'energia prodotta nella fusione, diminuendone l'efficienza che resta peraltro positiva. Nella termoproduzione il neutrino sottrae invece energia direttamente dalla struttura stellare, realizzando un meccanismo di raffredamento che ha fondamentali ripercussioni nella storia evolutiva di molte strutture stellari.

La figura 3.8 riporta una mappatura nel piano $\rho,T$ dell'efficienza relativa dei vari processi di produzione.

figura03_08.jpg
Figura 3.8 Regioni del piano <tex>($\rho$, T)</tex> di predominio dei diversi processi di produzione di termoneutrini. E' mostrata, a tratti, la linea lungo la quale l'Energia di Fermi <tex>(E$_f$)</tex> eguaglia l'energia termica, che delimita la regione di degenerazione elettronica.





c03/generazione_di_energia.txt · Ultima modifica: 06/11/2017 18:14 da marco