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c03:opacita_e_interazione_radiazione_materia

3.3 L'opacità ed i meccanismi di interazione radiazione materia

Dalla definizione di opacità usata nell'equazione del trasporto discende che i contributi all'opacità proverranno da tutti quei meccanismi di interazione tra radiazione e materia in grado di estrarre fotoni dal flusso di radiazione uscente dalla stella, isotropizzandoli. Accanto ai meccanismi di assorbimento (con riemissione isotropa), quali ad es. l'effetto fotoelettrico, dovranno quindi essere considerati anche il contributo degli scattering elastici o anelastici.

Ricordiamo che l'opacità <tex>$\kappa \rho$</tex> è definita come l'inverso del cammino libero medio del fotone, rappresentando quindi la probabilità di interazione per unità di percorso. Ne segue che, in generale, in presenza di diversi meccanismi di interazione la probabilità totale di interazione sarà direttamente ricavabile come somma delle probabilità relative di ciascun processo

$$\overline \kappa = \Sigma \overline \kappa_i$$

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Figura 3.3 Assorbimento della radiazione al variare della lunghezza d'onda da parte di un atomo neutro di Pb. Le varie discontinuità corrispondono all'energia di ionizzazione dell'elettrone sull'orbita più interna (K) e degli elettroni nella successiva shell L.

I possibili meccanismi di interazione radiazione-materia sono riassumibli in quattro categorie:

$\rightarrow$ Scattering elettronico: diffusione di fotoni da parte degli elettroni liberi presenti nel plasma stellare. Alle energie stellari è in genere valida l'approssimazione di scattering isotropo non relativistico (Scattering Thomson). Alle alte energie intervengono fenomeni quantistico-relativistici (Scattering Compton).

$\rightarrow$ Processi bound-bound (bb): assorbimento del fotone da parte di un elettrone legato (bound) ad un nucleo con passaggio dell'elettrone ad orbite ad energia superiore. Si tratta dunque di processi di eccitazione.

$\rightarrow$ Processi bound-free (bf): assorbimento del fotone da parte di un elettrone legato che viene liberato (free=libero) e portato nel continuo, secondo un processo altrimenti noto come Effetto fotoelettrico o Fotoionizzazione.

$\rightarrow$ Processi free-free (ff): assorbimento di un fotone libero ma nel campo di un nucleo. Si può facilmente verificare che l'assorbimento di un fotone da parte di un elettrone libero ed isolato resta proibito dalle leggi di conservazione di energia e quantità di moto. Il processo diventa possibile in presenza di un terzo corpo (il nucleo) che partecipi al bilancio di conservazione.

Gli ultimi tre processi implicano un assorbimento solo come atto iniziale: gli elettroni assorbiti ritorneranno in equilibrio termico riemettendo energia sotto forma di radiazione isotropa, ed il risultato netto di tali interazioni sarà quindi di estrarre fotoni dal flusso di radiazione uscente.

La valutazione dettagliata delle probabilità di interazione per gli eventi bb e bf è certamente tra le più onerose procedure affrontate dal calcolo astrofisico. Tale calcolo richiede preventivamente una dettagliata conoscenza non solo del grado di ionizzazione ma anche della distribuzione degli elettroni nei vari livelli (gradi di eccitazione), la valutazione delle probabilità di interazione per le varie frequenze della radiazione e infine l'esecuzione di un'opportuna media (media di Rosseland <tex>$\rightarrow$</tex> A3.4) sullo spettro della radiazione. Ciò implica in generale la considerazione di milioni di righe di assorbimento dovute agli atomi nei vari stati di ionizzazione. Il calcolo diventa ancor più oneroso alle basse temperatura a causa del contributo degli spettri rotazionali delle molecole presenti.

Nel secondo dopoguerra un vasto programma di ricerca sull'opacità fu iniziato per motivi strategici dai Laboratori di Los Alamos. Sulla base di tale lavoro, ripreso e perfezionato in altre istituzioni, oggi sono disponibili tabulazioni di opacità radiativa per varie miscele di elementi in funzione dei parametri di stato $\rho$ e $T$. Nel calcolo di strutture stellari tali tabulazioni sono ormai d'uso generale, sostituendo antiche approssimazioni analitiche. E' peraltro opportuno discutere con qualche dettaglio l'efficienza dei vari meccanismi di opacità al fine di ricavare indicazioni generali sul loro intervento nel calcolo delle strutture stellari.

Per ciò che riguarda lo scattering Thomson, anche classicamente ($\rightarrow$A3.3) si trova che la probabiltà di interazione tra la radiazione e una particella di carica $e$ e massa $m$ è data da

$$\sigma_T = \frac{8\pi}{3}(\frac{e^2}{mc^2})^2 = \frac {8\pi}{3}r_0^2$$

dove $r_0$ = 2.82 10$^{-13}$ cm è il raggio classico della particella, cioè il raggio attribuibile alla particella se tutta la sua massa fosse di origine elettromagnetica. Poichè tale probabilità va come $1/m^2$ è subito visto che i nuclei danno un contributo allo scattering trascurabile rispetto a quello degli elettroni.

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Figura 3.4 Mappatura nel piano T, $\rho$ dell'efficienza relativa dei vari meccanismi di opacità.

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Figura 3.5 Andamento dell'opacità radiativa al variare della temperatura per assunti valori della densità.

Ricordando che l'opacità corrisponde alla probabiltà di interazione per unità di superficie e per unità di percorso risulta quindi

$$\overline \kappa_T = \sigma_T \frac {n_e}{\rho}$$

Poichè $\sigma_T = 0.66~ 10^{-24}$, $n_e = (X+Y/2+Z/2)\rho/H = (1/2+X/2)\rho/H$ e $H= 1.66~ 10^{-24}gr$, si ricava infine

$$\overline \kappa_T \sim 0.2 (1+X)$$

che mostra come l'opacità per scattering Thomson non dipenda dalla densità ma solo dall'abbondanza in massa di idrogeno. Notiamo infine che in presenza di degenerazione elettronica la probabilità d'interazione tenderà a diminuire, per divenire proibiti tutti quegli scattering che porterebbero gli elettroni in stati già occupati. Ad alte energie, in regime di scattering Compton ($h\nu \geq m_ec^2$), occorrerà inoltre tener conto che lo scattering non è più isotropo ed i fotoni tendono ad essere preferenzialmente scatterati in avanti.

Ove siano presenti elettroni legati (materia non completamente ionizzata) i processi bb e bf dominano sullo scattering Thomson. Di qui la grande importanza degli elementi pesanti nel determinare l'opacità della materia stellare, nonostante la loro relativamente scarsa abbondanza, con contributi determinanti in regioni dove ormai H e He sono completamente ionizzati. Per i processi bf (effetto fotoelettrico) notiamo in particolare che ad ogni stato legato dell'elettrone corrisponde una ben precisa energia di estrazione (ionizzazione)$W_i$. Per ogni possibile ionizzazione esiste quindi per i fotoni una energia di soglia $h\nu = W_i$ al di sotto della quale il processo è proibito. Come conseguenza l'opacità presenta un caratteristico andamento con picchi corrispondenti alle varie ionizzazioni (Fig. 3.3)

L'interazione free-free può infine essere riguardata come il processo inverso della ben nota radiazione di frenamento (Bremsstrahlung) dove un elettrone emette un fotone nel campo di un nucleo. Il principio del bilancio dettagliato assicura che in condizioni di equilibrio termodinamico le velocità di reazione diretta ed inversa devono essere eguali. Si trova così

$$\overline \kappa_{ff} \alpha Z^2n_en_i T^{7/2} \alpha \frac {Z^3\rho}{A^2}T^{-7/2}$$

che con il termine <tex>$Z^3$</tex> mostra ancora una critica dipendenza dalla presenza di elementi pesanti.

A fianco dei meccanismi bb, bf e ff occorre anche tener conto dei fenomeni di emissione stimolata che, aggiungendo fotoni al flusso, diminuiscono in pratica le singole opacità di un fattore $1-e^{h\nu/kT}$ (Coefficienti di Einstein). In totale per ogni frequenza $\nu$ si avrà

$$\kappa(\nu) = \kappa_T + (\kappa_{bb}+\kappa_{bf}+\kappa_{ff})(1-e^{h\nu/kT})$$

che verrà mediata sulla distribuzione di fotoni tipica di ogni temperatura per fornire l'opacità $\overline \kappa (\rho,T)$ tabulata per le varie assunte miscele.

La Figura 3.4 riporta una mappatura nel piano $(\rho,T)$ delle regioni in cui dominano i vari meccanismi di opacità, mentre la Fig. 3.5 riporta esempi dell'andamento dell'opacità, evidenziando le ingenti variazioni collegate all'efficienza dei vari meccanismi.

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Figura 3.6 L'intervento della degenerazione elettronica induce un crollo dell'opacità totale <tex>$\kappa_T$</tex> alle alte densità.

Ricordiamo infine che in caso di degenerazione elettronica diviene efficiente il trasporto elettronico. In piena degenerazione $\kappa_c«\overline \kappa_r$</tex> e il trasporto è dominato dalla conduzione (<tex>$\kappa\simeq \kappa_c$) (Fig. 3.6).





c03/opacita_e_interazione_radiazione_materia.txt · Ultima modifica: 06/11/2017 18:07 da marco