Astrofisica Stellare

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====== 3.3 L'opacità ed i meccanismi di interazione radiazione materia ======

<WRAP justify>
Dalla definizione  di opacità usata nell'equazione del trasporto
discende che i contributi all'opacità proverranno da tutti quei
meccanismi di interazione tra radiazione e materia in grado di
estrarre fotoni dal flusso di radiazione uscente dalla stella,
isotropizzandoli. Accanto ai meccanismi di assorbimento (con
riemissione isotropa), quali ad es. l'[[wp.it>effetto fotoelettrico]],
dovranno quindi essere considerati anche il contributo degli
[[wp.it>Scattering_elastico|scattering elastici]] o //anelastici//.

Ricordiamo che  l'opacità $\kappa \rho$ è definita come
l'inverso del cammino libero medio del fotone, rappresentando
quindi la probabilità di interazione per unità di percorso. Ne
segue che, in generale, in presenza di diversi meccanismi di
interazione la probabilità totale di interazione  sarà
direttamente ricavabile come somma delle probabilità relative di
ciascun processo
\\
\\
$$\overline \kappa = \Sigma \overline \kappa_i$$
\\
\\
{{:c03:figura_03_03.jpg?400}}
\\
**Figura 3.3 ** Assorbimento della radiazione al variare
della lunghezza d'onda da parte di un atomo neutro di Pb. Le varie
discontinuità  corrispondono all'energia di ionizzazione
dell'elettrone sull'orbita più interna (K) e degli elettroni
nella successiva shell L.
\\
\\
I possibili  meccanismi di interazione radiazione-materia sono
riassumibli in quattro categorie:
\\
\\
$\rightarrow$ //Scattering  elettronico//:
diffusione di fotoni da parte degli elettroni liberi presenti nel
plasma stellare. Alle energie stellari è in genere valida
l'approssimazione di scattering isotropo non relativistico
([[wp.it>Scattering Thomson]]). Alle alte energie intervengono fenomeni
quantistico-relativistici ([[wp.it>Scattering Compton]]).
\\
\\
$\rightarrow$ //Processi bound-bound// (bb):
assorbimento del fotone da parte di un elettrone legato (bound) ad
un nucleo con passaggio dell'elettrone ad orbite ad energia
superiore. Si tratta dunque di processi di //eccitazione//.
\\
\\
$\rightarrow$ //Processi bound-free// (bf):
assorbimento del fotone da parte di un elettrone legato che viene
liberato (free=libero) e portato nel continuo, secondo un processo
altrimenti noto come  [[wp.it>Effetto fotoelettrico]] o 
//Fotoionizzazione//.
\\
\\
$\rightarrow$ //Processi free-free// (ff):
assorbimento di un fotone libero ma nel campo di un nucleo. Si
può facilmente verificare  che l'assorbimento di un fotone da
parte di un elettrone libero ed isolato resta proibito dalle leggi
di conservazione di energia e quantità di moto. Il processo
diventa possibile in presenza di un terzo corpo (il nucleo) che
partecipi al bilancio di conservazione.
\\
\\
Gli ultimi tre processi implicano un assorbimento solo come atto
iniziale: gli elettroni assorbiti ritorneranno in equilibrio
termico riemettendo energia sotto forma di radiazione isotropa, ed
il risultato netto di tali interazioni sarà quindi di estrarre
fotoni dal flusso di radiazione uscente.

La valutazione dettagliata delle probabilità di interazione per
gli eventi //bb// e //bf// è certamente tra le più onerose procedure
affrontate dal  calcolo astrofisico. Tale calcolo richiede
preventivamente una dettagliata conoscenza non solo del grado di
ionizzazione ma anche della distribuzione degli elettroni nei vari
livelli (gradi di [[wp.it>eccitazione]]), la valutazione delle
probabilità di interazione per le varie frequenze della
radiazione e infine l'esecuzione di un'opportuna media (//media
di Rosseland// <tex>$\rightarrow$</tex> [[c03:la_media_di_rosseland|A3.4]]) sullo spettro della radiazione.
Ciò implica in generale la considerazione di milioni di righe di
assorbimento dovute agli atomi nei vari stati di [[wp.it>ionizzazione]]. Il
calcolo diventa ancor più oneroso alle basse temperatura a causa
del contributo degli [[wp.it>Spettroscopia_rotazionale|spettri rotazionali]] delle [[wp.it>molecole]] presenti.

Nel secondo dopoguerra un vasto programma di ricerca
sull'opacità fu iniziato per motivi strategici dai [[wp.it>Los_Alamos_National_Laboratory|Laboratori di
Los Alamos]]. Sulla base di tale lavoro, ripreso e perfezionato in
altre istituzioni, oggi sono disponibili tabulazioni di opacità
radiativa per varie miscele di elementi in funzione dei parametri
di stato $\rho$ e $T$. 
Nel calcolo di strutture stellari tali
tabulazioni sono ormai d'uso generale, sostituendo antiche
approssimazioni analitiche. E' peraltro opportuno discutere con
qualche dettaglio l'efficienza dei vari meccanismi di opacità al
fine di ricavare indicazioni generali sul loro intervento nel
calcolo delle strutture stellari.

Per ciò che riguarda lo scattering Thomson, anche classicamente
($\rightarrow$[[c03:scattering_thomson|A3.3]]) si trova che la probabiltà di interazione
tra la radiazione e una particella di carica $e$ 
e massa $m$ è data da
\\
\\
$$\sigma_T = \frac{8\pi}{3}(\frac{e^2}{mc^2})^2 = \frac {8\pi}{3}r_0^2$$
\\
\\
dove  $r_0$ = 2.82 10$^{-13}$ cm è il raggio classico della
particella, cioè il raggio attribuibile alla particella se tutta
la sua massa fosse di origine elettromagnetica. Poichè tale
probabilità va come $1/m^2$ è subito visto che i nuclei danno
un contributo allo scattering trascurabile rispetto a quello degli
elettroni.
\\
\\
{{:c03:figura_03_04.jpg?600}}
\\
** Figura 3.4 **
Mappatura nel piano T, $\rho$
dell'efficienza relativa dei vari meccanismi di opacità.
\\
\\
{{:c03:figura_03_05.jpg?600}}
\\
** Figura 3.5 ** Andamento dell'opacità radiativa al
variare della temperatura per assunti valori della densità.
\\
\\
Ricordando che l'opacità corrisponde alla probabiltà di
interazione per unità di superficie e per unità di percorso
risulta quindi
\\
\\
$$\overline \kappa_T = \sigma_T \frac {n_e}{\rho}$$
\\
\\
Poichè $\sigma_T = 0.66~ 10^{-24}$, $n_e = (X+Y/2+Z/2)\rho/H =
(1/2+X/2)\rho/H$ e $H= 1.66~ 10^{-24}gr$, si ricava infine
\\
\\
$$\overline \kappa_T \sim 0.2 (1+X)$$
\\
\\
che mostra come l'opacità per scattering Thomson non dipenda
dalla densità ma solo dall'abbondanza in massa di idrogeno.
Notiamo infine che  in presenza di degenerazione elettronica la
probabilità d'interazione tenderà a diminuire, per divenire
proibiti tutti quegli scattering che porterebbero gli elettroni in
stati già occupati. Ad alte energie, in regime di scattering
Compton ($h\nu \geq m_ec^2$), occorrerà inoltre tener conto che
lo scattering non è più isotropo ed i fotoni tendono ad essere
preferenzialmente scatterati in avanti.

Ove siano presenti elettroni legati (materia non completamente
ionizzata) i processi //bb// e //bf// dominano sullo scattering Thomson.
Di qui la grande importanza degli elementi pesanti nel determinare
l'opacità della materia stellare, nonostante la loro
relativamente scarsa abbondanza, con contributi determinanti in
regioni dove ormai H e He sono completamente ionizzati. Per i
processi //bf// (effetto fotoelettrico) notiamo in particolare che ad
ogni stato legato dell'elettrone corrisponde una ben precisa
energia di estrazione (ionizzazione)$W_i$. Per ogni possibile
ionizzazione esiste quindi per i fotoni una energia di soglia
$h\nu = W_i$ al di sotto della quale il processo è proibito.
Come conseguenza l'opacità presenta un caratteristico andamento
con picchi corrispondenti alle varie ionizzazioni (Fig. 3.3)

L'interazione //free-free// può infine essere riguardata come il
processo inverso della ben nota radiazione di frenamento 
([[wp.it>Bremsstrahlung]]) dove un elettrone emette un fotone nel campo di
un nucleo. Il //principio del bilancio dettagliato// assicura che in
condizioni di equilibrio termodinamico le velocità di reazione
diretta ed inversa devono essere eguali. Si trova così
\\
\\
$$\overline \kappa_{ff}   \alpha   Z^2n_en_i T^{7/2} \alpha \frac {Z^3\rho}{A^2}T^{-7/2}$$
\\
\\
che  con il termine <tex>$Z^3$</tex> mostra ancora una critica dipendenza
dalla presenza di elementi pesanti.

A fianco dei meccanismi //bb//, //bf// e //ff// occorre anche tener conto dei
fenomeni di [[wp.it>emissione stimolata]] che, aggiungendo fotoni al flusso,
diminuiscono in pratica le singole opacità di un fattore
$1-e^{h\nu/kT}$
([[wp.it>Coefficienti di Einstein]]). In totale per
ogni frequenza $\nu$ si avrà
\\
\\
$$\kappa(\nu) = \kappa_T + (\kappa_{bb}+\kappa_{bf}+\kappa_{ff})(1-e^{h\nu/kT})$$
\\
\\
che verrà mediata sulla distribuzione di fotoni tipica di ogni
temperatura per fornire l'opacità $\overline \kappa (\rho,T)$
tabulata per le varie assunte miscele.

La  Figura 3.4 riporta una mappatura nel piano
$(\rho,T)$ delle regioni in cui dominano i vari meccanismi di
opacità, mentre la Fig. 3.5 riporta esempi
dell'andamento dell'opacità, evidenziando le ingenti variazioni
collegate all'efficienza dei vari meccanismi. 
</WRAP>
{{:c03:figura_03_06.jpg?400}}
\\
** Figura 3.6 ** L'intervento della degenerazione
elettronica induce un crollo dell'opacità totale <tex>$\kappa_T$</tex> alle
alte densità.
\\
<WRAP justify>
Ricordiamo infine che
in caso di //degenerazione elettronica// diviene efficiente il
trasporto elettronico. In piena degenerazione $\kappa_c<<\overline
\kappa_r$ e il trasporto è dominato dalla conduzione
($\kappa\simeq \kappa_c$) (Fig. 3.6).
</WRAP>
\\
----
\\
~~DISQUS~~