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A4.3 Condizioni generali sulle strutture stellari
Sulla base delle varie relazioni teoriche che governano l'equilibrio delle strutture stellari è possibile ricavare interessanti predizioni sul comportamento generale di tali strutture.
Dall'equazione dell'equilibrio idrostatico nella forma
<tex>dP/dM=GM/4$\pi$r$^4$</tex>, integrando lungo l'intera struttura con un
unico passo si ottiene as esempio
<tex>
$$P \ \propto \ \frac {M^2}{R^4} \ \ \ {\rm e \ poich\grave{e}} \ \ P \propto
\rho T \propto \frac {M}{R^3} T$$
</tex>
si ha infine
<tex>
$$T \ \ \propto \ \ \frac {M}{R}$$
</tex>
Alla stessa relazione si giunge dal teorema del viriale. Da
<tex>2W + $\Omega$ = 0</tex> si ha infatti <tex>$W \propto -\Omega$</tex>, dove ad evitare
confusioni con la temperatura T abbiamo ora indicato con W
l'energia cinetica totale del sistema. Per la temperatura si ha
<tex>T $\propto$ W/M</tex> e, dal viriale, anche <tex>$\propto \Omega$/M</tex>. Poichè
<tex>$\Omega \propto$ M$^2$/R</tex> si ha infine ancora <tex>T $\propto$ M/R.</tex>
Utilizzando tale relazione possiamo anche ricavare indicazioni
sulla relazione massa-luminosità per strutture supposte almeno
in larga parte in equilibrio radiativo. In tal caso si ha infatti
<tex>
$$ \frac {dT}{dM}\ \ = \ \ - \frac {3 \overline \kappa}{4ac} \frac {L }{16 \pi^2 r^4 T^3}
\ \ \ \ {\rm da \ \ cui} \ \ \ \ \frac {T^4}{M} \propto \frac {L}{R^4}$$
</tex>
Da <tex>T $\propto$ M/R</tex> si ricava infine
<tex>
$$L\ \ \propto \ \ M^3$$
</tex>
che mostra come la luminosità debba crescere con una potenza
superiore della massa. Si noti come nella derivazione non si siano
fatte ipotesi sulla generazione di energia, a ulteriore
dimostrazione che la luminosità di una struttura è governata
dalla massa attraverso l'equilibrio idrostatico. Introducendo
l'ipotesi che la luminosità sia il prodotto di un meccanismo di
combustione nucleare, poichè l'efficienza delle combustioni
cresce con la temperatura, la relazione precedente ci garantisce
anche che la temperatura centrale deve crescere con la massa.
Dalla equazione della conservazione di energia si ha inoltre
<tex>
$$ \frac {dL}{dR} \ = 4 \pi r^2 \rho \varepsilon \ \ \ {\rm da \ \ cui}
\ \ \ \ \frac {L}{R^3} \propto \rho \varepsilon $$
</tex>
e utilizzando ancora <tex>T $\propto$ M/R</tex>, unita alla
<tex>L $\propto$ M$^3$</tex> si ha
<tex>
$$\frac {L T^3}{M^3} \propto T^3 \propto \rho \varepsilon $$.
</tex>
che mostra come il rapporto tra temperatura e
densità dipenda dal coefficiente di generazione di energia. Per
quest'ultimo si avrà una dipendenza da temperatura e densità
del tipo
<tex>
$$ \varepsilon \ \propto \ \rho^m\ \ T^n$$
</tex>
risultando m=1, n=4 per la combustione dell'idrogeno, catena pp,
m=1, n=14 per il ciclo CNO, e m=2, n=22 per la combustione
dell'elio.
Per strutture sorrette dalla catena pp si avrà cos\ì, ad
esempio
<tex>
$$ T \rho^2 \sim cost$$
</tex>
e simile per il CNO, che mostra come se all'aumentare della massa
deve crescere la temperatura, come abbiamo già trovato, nel
contempo deve diminuire anche la densità centrale. Diminuendo le
masse si avranno dunque minori temperature e maggiori densità,
predisponendo tali masse all'insorgere della degenerazione
elettronica, come già indicato.
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