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c04:elementi_primari_ed_elementi_secondari

4.4 Elementi primari ed elementi secondari

Chi avesse dimestichezza con le famiglie di elementi radioattivi naturali riconoscerebbe nella catena pp tutta una serie di elementi “secondari”, i cui nuclei sono contemporaneamente prodotti e distrutti nella sequenza di reazioni. In tale condizione le abbondanze di questi elementi tendono verso condizioni di equilibrio, ed i nuclei non intervengono più nel determinare la velocità delle reazioni se non in maniera indiretta. Illustreremo tale caratteristica nel caso del deuterio.

Per il deuterio si ha infatti una reazione di produzione $(p+p\rightarrow)$ ed una di distruzione $(D+p\rightarrow)$. Poichè per ogni reazione viene creato o distrutto un nucleo di deuterio, il numero di nuclei creati o distrutti nell'unità di volume e nell'unità di tempo sarà dato dalle relazioni

$$ Processi \ di \ creazione \rightarrow \frac{dN_2}{dt}=n_{1,2}=\frac{N_1^2}{2}<\sigma_{11}v>$$

$$ Processi \ di \ distruzione \rightarrow \frac{dN_2}{dt}= -n_{12}= -N_1N_2<\sigma_{12}v>$$

dove 1 e 2 fanno riferimento rispettivamente a protoni e deutoni. Ne segue che che il numero di deutoni nell'unità di volume varia col tempo secondo la relazione

$$\frac{dN_2}{dt}=n_{11}-n_{12}$$

Qualunque sia l'abbondanza iniziale del deuterio (ma in realtà ce ne attendiamo molto poco) si ricava che l'abbondanza di tale elemento deve evolvere verso la condizione di equilibrio

$$n_{11}=n_{12}$$

da cui si trae per le abbondanze di equilibrio

$$(\frac{N_2}{N_1})_{eq}=\frac{1}{2} \frac{<\sigma_{11}v>}{<\sigma_{12}v>}$$

E' subito visto infatti che se $N_2>N_1$ allora $\sigma_{12}>\sigma_{11}$, e viceversa, così che le abbondanze evolvono necessariamente verso l'equilibrio. Ricordando che le abbondanze in numero sono legate a quelle in massa dalla relazione $X_i=N_iA_iH/\rho$ per le abbondanze in massa di equilibrio potremo scrivere $(X_2/X_1)_{eq}=<\sigma_{11}v>/<\sigma_{12}v>$

Si può ottenere una scala dei tempi per il raggiungimento dell'equilibrio osservando che, per esempio, se $N_2\gg (N_2)_{eq}$ prevale la reazione di distruzione, per la quale

$$\frac{1}{N_2}\frac{dN_2}{dt}=\frac{d}{dt}lnN_2=-N_1<\sigma_{12}v>$$

da cui $N_2=N_2^0 e^{-t/\tau}$ con $\tau=1/(N_1<\sigma_{11}v>)$. Per una miscela ricca di idrogeno e per temperature in cui la fusione pp è efficiente si trova così $(X_2)_{eq}\le 10^{-18}, \tau \le 1$ secondo. Le condizioni di equilibrio sono cioè raggiunte in tempi rapidissimi e senza una apprezzabile variazione della composizione chimica della materia (Figura 4.3).

figura04_03.jpg
Fig. 4.3 Il rapporto di equilibrio D/H al variare della temperatura T in milioni di gradi.

All'equilibrio ogni reazione p+p è necessariamente seguita da una reazione D+p, talchè si può direttamente assumere che ogni reazione p+p abbia per risultato la scomparsa di tre protoni e la sintesi di un nucleo di $^3He$, la velocità di produzione restando regolata solo dal valore di $n_{11}$. In questo senso il deuterio è elemento secondario, come lo sono anche $^7Be$, $^7Li$, $^8Be$, $^8B$ la cui dettagliata valutazione risulta inessenziale sia ai fini della evoluzione chimica che a quelli della produzione di energia della catena pp, fermo restando che alle restanti reazioni primarie occorrerà associare i prodotti in particelle ed i contributi energetici provenienti dalle reazioni secondarie che le seguono.

figura_04_04.jpg
Fig. 4.4 La concentrazione all'equilibrio di <tex>$^3$He</tex> (a sinistra) e il tempo (in anni) per raggiungere l'equilibrio stesso (a destra) in funzione della temperatura in milioni di gradi.

Così gli effetti delle due prime reazioni della catena

$p+p\rightarrow D+e^++\nu \ (+Q_{11})$

$D+p\rightarrow ^3He+\gamma \ (+Q_{12})$

ove con $Q_{ii}$ indichiamo l'energia rilasciata nella singola reazione eventualmente decurtata della enrgia sotto forma di neutrini,restano compiutamente descritti dalle relazioni

$$\frac{dN_1}{dt}=-3 n_{11} \ \frac{dN_3}{dt}= n_{11}$$

$$\frac{dQ}{dt}= n_{11}(Q_{11}+Q_{12})$$

ove le prime due regolano, con ovvio significato dei simboli, la variazione col tempo del numero di particelle per unità di volume e la terza fornisce l'energia prodotta per unità di tempo sempre nell'unità di volume. Da quest'ultima si ricava immediatamente la produzione di energia per grammo e per secondo della ppI:

$$\varepsilon =\frac{1}{\rho}\frac{dQ}{dt}$$

Resta da notare che alcuni elementi, come nel nostro caso l'$^3He$, possono comportarsi da primari o secondari a seconda della temperatura che regola il valore della sezione d'urto di distruzione. A basse temperature la sezione d'urto $^3He+^3He$ è molto piccola e la composizione d'equilibrio -sempre esistente- è corrispondentemente non solo molto alta ma anche raggiunta in tempi lunghi. L'evoluzione dell'abbondanza di $^3He$ deve quindi essere seguita in dettaglio e l'$^3He$ si comporta come elemento pseudoprimario. Al crescere della temperatura aumenta la sezione d'urto di distruzione e l'$^3He$ diviene a tutto rigore un secondario (Fig. 4.4).






c04/elementi_primari_ed_elementi_secondari.txt · Ultima modifica: 02/11/2017 11:24 da marco