c04:il_teorema_del_viriale
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A4.2. Il teorema del viriale ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | Si abbia un gas autogravitante, | ||
+ | particelle di massa m< | ||
+ | loro campo gravitazionale. Per esso si definisce il [[wp.it> | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $I = \sum_i m_1(x_i^2+y_i^2+z_i^2) | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | con ovvio significato dei simboli. | ||
+ | Operandone la derivata seconda rispetto al tempo ne risulta | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= \sum_i m_i \frac {d}{dt} (x_i | ||
+ | v_{xi}+ y_i v_{yi}+ z_i v_{zi} ) = \sum_i m_i v_{xi}^2 + ... +m_1 | ||
+ | x_i a_{xi} + .......$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove per brevità sono stati omessi gli | ||
+ | analoghi contributi delle componenti y e z. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | E' subito visto che la somma | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\sum_i m_i v_{xi}^2 + m_i v_{yi}^2 + m_i v_{zi}^2 = \sum_i m_i | ||
+ | v_i^2 = 2T$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | avendo indicato con T l' | ||
+ | sistema, somma delle energie cinetiche delle singole particelle. | ||
+ | |||
+ | Notiamo ora che m$_i$a$_{xi} per la | ||
+ | [[wp.it> | ||
+ | ($\overline F | ||
+ | = m \overline a$) è la componente x della forza agente sulla | ||
+ | i-ma particella. Potremo dunque scrivere | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ x_i \ m_i a_{xi}= x_i F_{xi} = x_i G \sum_{j \not= i} \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Eseguendo le somme, ad ogni termine del tipo | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ x_i G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ | ||
+ | \frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x \ della \ forza \ | ||
+ | operata | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | corrisponde un termine | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ x_j G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ | ||
+ | \frac {x_i - x_j}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x \ della \ forza \ | ||
+ | operata \ dalla \ particella \ i \ su \ quella \ j)}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | la cui somma fornisce | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ (x_i-x_j) G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ | ||
+ | \frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ = -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac | ||
+ | {(x_j - x_i)^2}{r_{ij}}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Sommando le corrispondenti componenti y e z si ha | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac | ||
+ | {(x_j - x_i)^2+ (y_j - y_i)^2 + (z_j - z_i)^2 }{r_{ij}}= | ||
+ | {m_i m_j}{r_{ij}}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | e sommando su tutte le particelle | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$- \sum_{ij} G \frac | ||
+ | {m_i m_j}{r_{ij}} \ = \ \Omega = {\rm energia \ di \ legame \ | ||
+ | gravitazionale}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Riassumendo, | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= 2T + \Omega$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | come si voleva dimostrare. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | <fbl> | ||
+ | </ | ||
+ | ---- | ||
+ | ~~DISQUS~~ |
c04/il_teorema_del_viriale.txt · Ultima modifica: 29/05/2023 11:00 da marco