Si abbia un gas autogravitante, composto cioè da un insieme di N particelle di massa m_i, mutamente interagenti attraverso il loro campo gravitazionale. Per esso si definisce il momento di inerzia

$I = \sum_i m_1(x_i^2+y_i^2+z_i^2) \ \ i=1,N$

con ovvio significato dei simboli. Operandone la derivata seconda rispetto al tempo ne risulta

$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= \sum_i m_i \frac {d}{dt} (x_i v_{xi}+ y_i v_{yi}+ z_i v_{zi} ) = \sum_i m_i v_{xi}^2 + \ldots +m_1 x_i a_{xi} + \ldots\ldots.$$

dove per brevità sono stati omessi gli analoghi contributi delle componenti y e z.

E' subito visto che la somma

$$\sum_i m_i v_{xi}^2 + m_i v_{yi}^2 + m_i v_{zi}^2 = \sum_i m_i v_i^2 = 2T$$

avendo indicato con T l'energia cinetica totale del sistema, somma delle energie cinetiche delle singole particelle.

Notiamo ora che m$_i$a$_{xi}$ per la legge di Newton ($\overline F = m \overline a$) è la componente x della forza agente sulla i-ma particella. Potremo dunque scrivere

$$ x_i \ m_i a_{xi}= x_i F_{xi} = x_i G \sum_{j \not= i} \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}}$$

Eseguendo le somme, ad ogni termine del tipo

$$ x_i G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x \ della \ forza \ operata \ dalla \ particella \ j \ su \ quella \ i)}$$

corrisponde un termine

$$ x_j G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_i - x_j}{r_{ij}} \ \ \ {\rm (componente \ x \ della \ forza \ operata \ dalla \ particella \ i \ su \ quella \ j)}$$

la cui somma fornisce

$$ (x_i-x_j) G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {x_j - x_i}{r_{ij}} \ = -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {(x_j - x_i)^2}{r_{ij}}$$

Sommando le corrispondenti componenti y e z si ha

$$ -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}^2} \ \frac {(x_j - x_i)^2+ (y_j - y_i)^2 + (z_j - z_i)^2 }{r_{ij}}= -G \frac {m_i m_j}{r_{ij}}$$

e sommando su tutte le particelle

$$- \sum_{ij} G \frac {m_i m_j}{r_{ij}} \ = \ \Omega = {\rm energia \ di \ legame \ gravitazionale}$$

Riassumendo, si conclude che

$$\frac {1}{2}\frac {d^2 I}{dt^2}= 2T + \Omega$$

come si voleva dimostrare.

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