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c04:teorema_del_viriale

4.2 Strutture di equilibro e teorema del viriale

Con semplici procedure basate sulla terza legge di Newton si può agevolmente mostrare ($\rightarrow A4.2$) che per un qualsiasi sistema isolato di particelle autogravitanti vale il Teorema del Viriale nella forma

$$2T + \Omega = \frac {d^2I}{dt^2}$$

dove T = energia cinetica totale = $\Sigma_i \frac{1}{2}m_iv_i^2$ estesa a tutte le particelle del sistema, $\Omega =$ energia di legame gravitazionale, negativa ( = 0 per $r \rightarrow \infty$) e I è il momento di inerzia del sistema.

Le fasi iniziali del processo di formazione stellare sono sotto il controllo dei tempi scala meccanici del collasso gravitazionale ed il sistema è ben lontano dalle condizioni di quasi stazionarietà (quasi equilibrio) che abbiamo definito essere caratteristiche di una struttura stellare. Al progredire della contrazione l'innalzamento della temperatura finisce con il favorire fenomeni di ionizzazione, cresce l'opacità radiativa, l'energia guadagnata nella contrazione viene ceduta al gas, innalzandone temperatura e pressione, ed i tempi scala passano da tempi scala meccanici a tempi scala termodinamici. Le strutture raggiungono così condizioni di quasi equilibrio, $d^2I/dt^2 \rightarrow 0$ e le strutture stesse restano sotto il controllo del viriale nella forma

$$2T + \Omega = 0$$

Da questo momento potremo dire di essere in presenza di una struttura stellare, struttura che rimarrà sotto il controllo del viriale sinché non si giunga ad una eventuale fase finale esplosiva. Si noti che l'alta opacità della materia nelle fasi iniziali, inibendo il trasporto radiativo, tende a indurre estesi moti convettivi, talché si ritiene in genere lecito assumere strutture iniziali totalmente convettive e, di conseguenza, chimicamente omogenee.

E' utile notare che la precedente espressione del viriale non rappresenta qualcosa di misterioso o magico ma, al contrario, fornisce in forma quantitativa una ovvia condizione di equilibrio per le strutture. L'equilibrio tra le forze di gravità e quelle di pressione richiede infatti che all'aumentare della gravità (al decrescere di $\Omega$) aumenti la temperatura per aumentare la pressione. E' facile ricavare dal viriale anche le linee generali di evoluzione di un sistema autogravitante. A causa dell'irraggamento dalla superficie (e talora anche per emissione di neutrini) il sistema perde infatti continuamente energia. Se tale perdita non è bilanciata da una qualche sorgente interna di energia (quali le reazioni nucleari) la temperatura tenderebbe a decrescere. Se la pressione è controllata dalla temperatura, la stella deve allora contrarre su tempi scala termodinamici (o di Kelvin-Helmotz). Il viriale ci dice che per rimanere in equilibrio deve risultare

$$dT = -d\Omega/2$$

cioé metà dell'energia guadagnata nella contrazione deve andare ad innalzare il contenuto termico della struttura, mentre l'altra metà supplisce alle perdite per radiazione. La perdita di energia quindi finisce col produrre un innalzamento della temperatura e, in questi senso, una struttura autogravitante può essere riguardata come un sistema termodinamico a calore specifico negativo.

Ma quello che quì più interessa è che tale relazione mostra come la storia di una stella sia la storia di una progressiva contrazione di una sfera di gas autogravitante e del contemporaneo continuo innalzamento del contenuto termico della struttura. In tal senso una qualunque stella altro non è che una macchina naturale per innalzare la temperatura di un agglomerato di particelle. Se le particelle che compongono il gas stellare fossero puntiformi e non interagenti, la contrazione non avrebbe termine, né avrebbe termine il continuo innalzamento delle pressioni e delle temperature. Ma le particelle sono atomi, composti da un nucleo centrale circondato dagli elettroni periferici, e nel corso della contrazione possono intervenire due possibili tipi di fenomeni, a seconda dei valori di temperatura-densità che vengono raggiunti:

  1. gli elettroni degenerano, così che la pressione non dipende più dalla temperatura. La contrazione è arrestata dalla pressione degli elettroni degeneri,
  2. vengono raggiunte temperature alle quali diventano efficienti le reazioni nucleari.

Minore è la massa di una stella, maggiore è in genere la densità e minore la temperatura delle zone centrali. Stelle di massa sufficientemente piccola ($M \le 0.1 M_{\odot}$) degenerano ancor prima di raggiungere le temperature di fusione dell'idrogeno. Stelle di massa leggermente superiore ($0.1 M_{\odot} \le M \le 0.5 M_{\odot}$) innescano l'idrogeno ma degenerano prima di innalzare le temperature sino a innescare la combustione dell'elio. Stelle più massicce degenerano prima di innescare la combustione del carbonio. In stelle ancora più massicce la contrazione è destinata a proseguire, innescando tutte le combustioni esotermiche, sino a raggiungere le ultime fasi esplosive.

Se e quando nelle regioni centrali di una struttura inizia a divenire efficiente una sorgente nucleare di energia, l'energia così prodotta va a supplire alle perdite per radiazione, rallentando la contrazione. La contrazione deve in ogni modo continuare (innalzando la temperatura) sino a quando l'energia nucleare prodotta giunge a bilanciare esattamente quella persa dalla struttura. In tali condizioni la contrazione guidata dalle perdite di energia si arresta e, se si trascurassero le variazioni di composizione chimica indotte dalle reazioni nucleari, la struttura risulterebbe indefinitamente stabile.

In realtà le reazioni di fusione nucleare, agglutinando due o più nuclei in un unico prodotto di reazione, diminuiscono il numero di particelle. Diminuisce quindi la pressione, rompendo l'equilibrio idrostatico, e la stella deve quindi contrarre, ora però su tempi scala nucleari. L'aumento di temperatura guidato da tale contrazione dovrà anche essere in grado di mantenere la produzione di energia ai livelli necessari a fronte del progressivo consumo del combustibile nucleare disponibile. Si noti che da quanto sinora indicato si ricava che l'energia irraggiata da una stella NON è determinata dall'efficienza delle reazioni nucleari, essendo invece vero il viceversa: l'efficienza delle reazioni è regolata dalla necessità di bilanciare il preesistente fabbisogno energetico della struttura. E' questa una evidenza che sarà necessario tener presente nel seguito per comprendere alcune caratteristiche dell'evoluzione stellare.

I resti della supernova Puppis A, conseguenza dell'esplosione di una stella di grande massa, si estendono nel mezzo interstellare per un'ampiezza di circa 7000 anni luce. Crediti: X-ray: NASA/CXC/IAFE/ G. Dubner et al., ESA/XMM-Newton Infrarosso: NASA/ESA/JPL-Caltech/GSFC/ R. Arendt et al.

La storia di una stella è quindi la storia di una continua contrazione, di volta in volta rallentata dall'innesco di reazioni nucleari, con una continua alternanza di tempi scala termodinamici e nucleari. Ricordando come la temperatura di efficienza delle reazioni nucleari sia regolata dalla repulsione coulombiana, è facile prevedere che, al passare del tempo ed all'aumentare della temperatura, nelle regioni centrali di una stella inizierà prima la combustione dell'idrogeno, seguita -in successione a partire dall'elio - dalla combustione degli elementi più pesanti prodotti delle precedenti combustioni. Tale alternanza si interrompe definitivamente se la degenerazione elettronica interviene a bloccare la contrazione. Ove ciò non avvenga (stelle massive) dobbiamo prevedere che una struttura stellare quasi statica giunga fatalmente al suo termine quando nelle zone centrali si sia formato un nucleo di ferro giunto al limite della fusione nucleare ($\sim 5 * 10^9 ∞K$). Come più volte indicato tale fusione è endotermica, e ne consegue un processo di contrazione reazionato positivamente che riporterà la struttura su tempi scala meccanici, ponendo fine all'evoluzione stellare con la possibile distruzione e dispersione di parte della struttura.

L'innesco della reazione endotermica induce infatti un assorbimento di energia che accelera la contrazione, che a sua volta incrementa la temperatura centrale e l'efficienza della reazione stessa. Ci si attende come risultato un collasso della struttura. Pur senza entrare qui nel merito dei meccanismi fisici che regolano e controllano tale collasso, ricordiamo che ci si attende nel nucleo stellare una intensa produzione di neutroni e neutrini e, contemporaneamente, un subitaneo innalzamento della temperatura che riattiva reazioni nucleari in gran parte della struttura (nucleosintesi esplosiva). E' in questa fase che può venire eiettata nello spazio una consistente frazione della struttura medesima, iniettando nel gas interstellare gli elementi sintetizzati nell'intero corso dell'evoluzione nucleare della struttura.





c04/teorema_del_viriale.txt · Ultima modifica: 02/11/2017 11:14 da marco