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c05:modelli_di_presequenza._politropi

5.1. Modelli di presequenza. Politropi

Fine ultimo delle considerazioni fisico-matematiche che siamo andati presentando nei capitoli precedenti quello di porci in grado di procedere a valutazioni quantitative delle variazioni strutturali, e con esse dei parametri osservativi, che ci attendiamo debbano caratterizzare l'arco di esistenza di una struttura stellare. Per entrare nel dettaglio dei risultati evolutivi restano da illustrare brevemente le tecniche di calcolo che consentono di valutare una sequenza evolutiva di modelli stellari al fine di predire le variazioni temporali di ogni predeterminata struttura.

Possiamo ricapitolare quanto sinora esposto, concludendo che il sistema di equazioni dell'equilibrio, integrato con le relative valutazioni fisiche, consente di determinare l'andamento delle variabili fisiche lungo tutta una struttura stellare una volta che si conosca in ogni punto la composizione chimica degli strati stellari e qualora si possa trascurare il contributo dell'energia gravitazionale. La prima condizione è esplicitamente inserita nelle equazioni dell'equilibrio, mentre la seconda discende dall'evidenza che il coefficiente di energia gravitazionale $\varepsilon_g$ richiede la valutazione punto per punto delle derivate rispetto al tempo di pressione e temperatura, valutabili solo conoscendo l'evoluzione temporale del modello.

La composizione chimica all'interno di una struttura stellare è peraltro figlia della storia nucleare della struttura medesima, e non è pertanto valutabile a priori. Le uniche strutture che saranno accessibili ad un calcolo diretto saranno quindi e solo quelle di recentissima formazione, nella prima fase di contrazione gravitazionale e prima che l'innesco delle reazioni nucleari inizi a modificare la composizione chimica. Ricordiamo ora che nel processo di formazione una struttura raggiunge una configurazione di equilibrio quando l'aumento della temperatura, stimolando la ionizzazione, aumenta l'opacità della materia intrappolando la radiazione. A seguito dell' alta opacità ci attendiamo che tali strutture primitive siano totalmente convettive e da tale accadimento discende la possibilità di calcolarne la struttura.

Per ciò che riguarda la prima condizione notiamo infatti che strutture completamente convettive sono completamente e continuamente rimescolate. Si ha dunque l'assenza di selettive sedimentazioni gravitazionali dei diversi elementi. Potremo dunque assumere strutture chimicamente omogenee con composizione chimica pari a quella assunta per la nube originaria.

Un modello convettivo risulta peraltro anche indipendente da $\varepsilon_g$. Per comprenderne le ragioni assumiamo inizialmente, come prima approssimazione, che lungo l'intera struttura il gradiente sia pari al gradiente adiabatico di un gas perfetto monoatomico $\nabla_{ad}$ = (dlogT/dlogP)$_{ad}$ =0.4. In tal caso

$${\rm da } \ \ dlogT \ = \ 0.4 * dlogP \ \ {\rm si \ ricava} \ \ T \ = \ C_1 \ P^{0.4}$$

sostituendo nell'equazione di stato

$$P=\frac {k}{\mu H}\rho T \rightarrow P= C_1 \frac {k}{\mu H}\rho P^{0.4} \ \ {\rm da \ cui} \ P=C_2 \rho^\gamma \ \ {\rm con \ \ \gamma = 5/3 }$$

E' questo un caso particolare di una regola generale: non appena si aggiunga all'equazione di stato un'ulteriore relazione che colleghi tra loro le variabili termodinamiche (nel nostro caso la relazione del gradiente adiabatico) il sistema termodinamico perde un grado di libertà e ognuna delle variabili di stato (P, T, $\rho$) può essere espressa in funzione di solo un'altra variabile. Varrà sempre, in particolare, una relazione del tipo

$$P \ = \ K \ \rho^\gamma$$

con $\gamma$ dipendente dalla assunta relazione tra le variabili. Tutte le volte che l'equazione di stato è esprimibile nella forma precedente prende il nome di “equazione di stato politropica”. Si noti che se la relazione riguarda un gradiente (come nel caso adiabatico) l'equazione di stato politropica contiene necessariamente una costante arbitraria (condizione al contorno). Fissando le derivate si fissa infatti l'andamento delle variabili ma non il loro punto zero. Questo resta fissato non appena si fissi il rapporto P/$\rho$ (e quindi la temperatura) in un qualsiasi punto.

Per ciò che riguarda il modello stellare omogeneo e totalmente convettivo, se per esso riscriviamo le equazioni dell'equilibrio si trova che nel caso di strutture politropiche

$\frac {dP(r)}{dr} = - G \frac {M_r(r) \rho (r)}{r^2} dr$

$dM_r = 4 \pi r^2 \rho dr$

$P \ = K \ \rho^\gamma$

che formano un sistema di tre equazioni nelle tre variabili incognite P,$\rho$, Mr, la cui risoluzione richiederà ora la presenza di tre opportune condizioni al contorno. Quel che qui ci interessa, è che la struttura prescinde da ogni valutazione sulla generazione di energia, consentendo quindi l'integrazione del modello stellare. Per tale integrazione si userà un metodo del fitting, mancando delle soluzioni di prova richieste dal metodo di Henyey. In genere, per ogni prefissato valore della massa e della composizione chimica, si usa determinare le tre condizioni al contorno P$_c$ (pressione centrale), T$_e$ (temperatura efficace) e L (luminosità) per un prefissato valore della temperatura centrale T$_c$, assunta a valori sufficientemente bassi per escludere il passato intervento di reazioni nucleari.

Si noti come alla costante arbitraria nell'equazione di stato politropico-adiabatica corrispondono infinite soluzioni del modello, descritte dal calcolo al variare delle assunzioni su T$_c$. Questo ci dice che finchè la struttura resta totalmente convettiva dovrà necessariamente seguire il tracciato decritto dai modelli politropici al progressivo innalzarsi di T$_c$.

La stessa procedura può essere applicata nel caso generale, ove si lasci cadere l'assunzione $\nabla_{ad}$ = 0.4 (ionizzazione completa) in tutta la struttura e si voglia valutare il gradiente superadiabatico nelle zone esterne. La presenza della relazione di gradiente adiabatico o convettivo abbassa sempre di un grado di libertà il sistema, e anche se il gradiente convettivo dipende da L, per esso nelle zone esterne resta lecito assumere L=cost, prescindendo dalla valutazione di $\varepsilon_g$.





c05/modelli_di_presequenza._politropi.txt · Ultima modifica: 06/10/2017 10:22 da marco