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c05:modelli_politropici

A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden.

Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione “politropica” del tipo

$$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/n}$$

le equazioni di equilibrio si riducono a modelli “politropici”, dalle già discusse caratteristiche. Gli indici che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di esponente della politropica $\gamma$ o di indice della politropica (n). Tra le molte possibili origini di un comportamento politropico ricordiamo:

  1. Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3, n= 1.5
  2. Gas isotermo $\gamma$ = 1, n= $\infty$
  3. P$_{gas}$ /P$_{tot}$=$\beta$=cost, $\gamma$ = 4/3, n= 3
  4. Degenerazione non relativistica $\gamma$ = 5/3, n= 1.5
  5. Degenerazione relativistica $\gamma$ = 4/3, n= 1.5

In tutti i casi, derivando rispetto a r l'eguaglianza dell'equilibrio idrostatico, e sostituendo dM$_r$/dr tramite la relazione di conservazione della massa si ottiene

$$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$

da cui

$$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$

esprimendo P attraverso la relazione politropica e operando le sostituzioni

$$\rho = \rho_c \theta^n$$

$$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K} \rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$

si giunge all'equazione di Lane Emden

$$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = - \theta^n$$

da integrarsi con le condizioni $\theta$ = 1 e d$\theta$ /d$\xi$ = 0 per $\xi$ =0. L'equazione di Lane Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche.

Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un parametro libero cui corrispondono $\infty^1$ strutture convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso si ha quindi una soluzione unica, e ogni $\rho_c$ fissa massa e raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal quale vedremo discendere l'esistenza di una massa limite per nane bianche e stelle di neutroni.


c05/modelli_politropici.txt · Ultima modifica: 06/10/2017 12:04 da marco