Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione “politropica” del tipo

<tex> $$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/n}$$ </tex>

le equazioni di equilibrio si riducono a modelli “politropici”, dalle già discusse caratteristiche. Gli indici che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di esponente della politropica <tex>$\gamma$</tex> o di indice della politropica (n). Tra le molte possibili origini di un comportamento politropico ricordiamo:

1. Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico <tex>$\gamma$ = 5/3,
   n= 1.5</tex>
2. Gas isotermo <tex>$\gamma$</tex> = 1, n= <tex>$\infty$</tex>
3. <tex>P$_{gas}$ /P$_{tot}$=$\beta$=cost,
   $\gamma$ = 4/3,
   n= 3</tex>
4. Degenerazione non relativistica <tex>$\gamma$ = 5/3,
   n= 1.5</tex>
5. Degenerazione relativistica <tex>$\gamma$ = 4/3,
   n= 1.5</tex>

In tutti i casi, derivando rispetto a r l'eguaglianza dell'equilibrio idrostatico, e sostituendo <tex>dM$_r$/dr</tex> tramite la relazione di conservazione della massa si ottiene

<tex> $$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$ </tex>

da cui

<tex> $$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$ </tex>

esprimendo P attraverso la relazione politropica e operando le sostituzioni

<tex> $$\rho = \rho_c \theta^n$$ </tex>

<tex> $$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K} \rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$ </tex>

si giunge all'equazione di Lane Emden

<tex> $$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = - \theta^n$$ </tex>

da integrarsi con le condizioni <tex>$\theta$ = 1</tex> e <tex>d$\theta$ /d$\xi$ = 0</tex> per <tex>$\xi$ =0</tex>. L'equazione di Lane Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche.

Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un parametro libero cui corrispondono <tex>$\infty^1$</tex> strutture convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso si ha quindi una soluzione unica, e ogni <tex>$\rho_c$</tex> fissa massa e raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal quale vedremo discendere l'esistenza di una massa limite per nane bianche e stelle di neutroni.