c05:modelli_politropici
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden. ====== | ====== A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden. ====== | ||
+ | <WRAP justify> | ||
Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione " | Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione " | ||
del tipo | del tipo | ||
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\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/ | $$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/ | ||
- | </ | ||
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\\ | \\ | ||
Linea 14: | Linea 13: | ||
che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione | che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione | ||
tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di | tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di | ||
- | //esponente della politropica// | + | //esponente della politropica// |
politropica// | politropica// | ||
comportamento politropico ricordiamo: | comportamento politropico ricordiamo: | ||
- | - Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico | + | - Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3, n= 1.5 |
- | - Gas isotermo | + | - Gas isotermo $\gamma$ = 1, n= $\infty$ |
- | - <tex>P$_{gas}$ / | + | - P$_{gas}$ / |
- | - Degenerazione non relativistica | + | - Degenerazione non relativistica $\gamma$ = 5/3, n= 1.5 |
- | - Degenerazione relativistica | + | - Degenerazione relativistica $\gamma$ = 4/3, n= 1.5 |
In tutti i casi, derivando rispetto a r l' | In tutti i casi, derivando rispetto a r l' | ||
- | dell' | + | dell' |
relazione di conservazione della massa si ottiene | relazione di conservazione della massa si ottiene | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$ | $$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 39: | Linea 36: | ||
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- | <tex> | ||
$$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$ | $$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 47: | Linea 42: | ||
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- | <tex> | ||
$$\rho = \rho_c \theta^n$$ | $$\rho = \rho_c \theta^n$$ | ||
- | </ | ||
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- | <tex> | ||
$$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K} | $$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K} | ||
\rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$ | \rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$ | ||
- | </ | ||
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Linea 61: | Linea 52: | ||
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- | <tex> | ||
$$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = - \theta^n$$ | $$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = - \theta^n$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
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- | da integrarsi con le condizioni | + | da integrarsi con le condizioni $\theta$ = 1 |
- | e <tex>d$\theta$ /d$\xi$ = 0</ | + | e d$\theta$ /d$\xi$ = 0 per $\xi$ =0. L' |
Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche. | Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche. | ||
Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un | Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un | ||
- | parametro libero cui corrispondono | + | parametro libero cui corrispondono $\infty^1$ strutture |
convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è | convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è | ||
una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso | una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso | ||
- | si ha quindi una soluzione unica, e ogni <tex>$\rho_c$</ | + | si ha quindi una soluzione unica, e ogni $\rho_c$ fissa massa e |
raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di | raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di | ||
una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal | una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal | ||
quale vedremo discendere l' | quale vedremo discendere l' | ||
bianche e stelle di neutroni. | bianche e stelle di neutroni. | ||
- | \\ | + | </ |
- | \\ | + | |
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- | \\ | ||
~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ | ||
c05/modelli_politropici.1267458482.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)