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c05:modelli_politropici

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Linea 1: Linea 1:
 ====== A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden. ====== ====== A5.1 Modelli politropici. Equazione di Lane Emden. ======
  
 +<WRAP justify>
 Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione "politropica" Ogniqualvolta sia possibile stabilire una relazione "politropica"
 del tipo del tipo
 \\ \\
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-<tex> 
 $$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/n}$$ $$ P = K \rho^\gamma = K \rho ^{(n+1)/n}$$
-</tex> 
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Linea 14: Linea 13:
 che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione che corrispondono alle due diverse formulazioni della relazione
 tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di  tra pressione e densità prendono rispettivamente il nome di 
-//esponente della politropica// <tex>$\gamma$</tex> o di //indice della+//esponente della politropica// $\gamma$ o di //indice della
 politropica// (n). Tra le molte possibili origini di un politropica// (n). Tra le molte possibili origini di un
 comportamento politropico ricordiamo: comportamento politropico ricordiamo:
  
  
-  - Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico <tex>$\gamma$ = 5/3, \\ n= 1.5</tex> +  - Gradiente adiabatico di gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3, n= 1.5 
-  - Gas  isotermo <tex>$\gamma$</tex> = 1, n= <tex>$\infty$</tex> +  - Gas  isotermo $\gamma$ = 1, n= $\infty$ 
-  - <tex>P$_{gas}$ /P$_{tot}$=$\beta$=cost, \\ $\gamma$ = 4/3, \\ n= 3</tex> +  - P$_{gas}$ /P$_{tot}$=$\beta$=cost, $\gamma$ = 4/3, n= 3 
-  - Degenerazione non relativistica <tex>$\gamma$ = 5/3, \\ n= 1.5</tex> +  - Degenerazione non relativistica $\gamma$ = 5/3, n= 1.5 
-  - Degenerazione relativistica <tex>$\gamma$ = 4/3, \\ n= 1.5</tex>+  - Degenerazione relativistica $\gamma$ = 4/3,  n= 1.5
  
  
 In tutti i casi, derivando rispetto a r l'eguaglianza In tutti i casi, derivando rispetto a r l'eguaglianza
-dell'equilibrio idrostatico, e sostituendo <tex>dM$_r$/dr</tex> tramite la+dell'equilibrio idrostatico, e sostituendo dM$_r$/dr tramite la
 relazione di  conservazione della massa si ottiene relazione di  conservazione della massa si ottiene
 \\ \\
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-<tex> 
 $$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$ $$\frac{d}{dr} (\frac {r^2}{\rho} \frac {dP}{dr}) = -G \frac{dM_r}{dr} = -G4\pi r^2 \rho$$
-</tex> 
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Linea 39: Linea 36:
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-<tex> 
 $$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$ $$ \frac{1}{r^2} \frac {d}{dr} (\frac{ r^2}{\rho} \frac {dP}{dr})= -4\pi G \rho$$
-</tex> 
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Linea 47: Linea 42:
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-<tex> 
 $$\rho = \rho_c \theta^n$$ $$\rho = \rho_c \theta^n$$
-</tex> 
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-<tex> 
 $$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K} $$r = \xi / A \ \ \ {\rm dove} \ \ \ A=\frac{4 \pi G}{(n+1)K}
 \rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$ \rho_c^{\frac{n-1}{n}}$$
-</tex> 
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Linea 61: Linea 52:
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-<tex> 
 $$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = -  \theta^n$$ $$ \frac{1}{\xi^2} \frac {d}{d \xi} (\xi^2 \frac {d \theta}{d \xi}) = -  \theta^n$$
-</tex> 
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-da  integrarsi con le condizioni <tex>$\theta$ = 1</tex>  +da  integrarsi con le condizioni $\theta$ = 1 
-<tex>d$\theta$ /d$\xi$ = 0</tex> per <tex>$\xi$ =0</tex>. L'equazione di Lane+e d$\theta$ /d$\xi$ = 0 per $\xi$ =0. L'equazione di Lane
 Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche. Emden ammette per alcuni valori di n anche soluzioni analitiche.
  
 Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un Abbiamo già indicato come nel caso adiabatico K rappresenti un
-parametro libero cui corrispondono <tex>$\infty^1$</tex> strutture+parametro libero cui corrispondono $\infty^1$ strutture
 convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è convettive. Diverso è il caso di strutture degeneri, ove K è
 una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso una costante fissata dalla teoria della gas degenere. In tal caso
-si ha quindi una soluzione unica, e ogni <tex>$\rho_c$</tex> fissa massa e+si ha quindi una soluzione unica, e ogni $\rho_c$ fissa massa e
 raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di raggio della struttura, accadimento che mostra come il raggio di
 una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal una struttura degenere non dipenda dal suo contenuto termico e dal
 quale vedremo discendere l'esistenza di una massa limite per nane quale vedremo discendere l'esistenza di una massa limite per nane
 bianche e stelle di neutroni. bianche e stelle di neutroni.
-\\ +</WRAP>
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 ~~DISQUS~~ ~~DISQUS~~
  
  
c05/modelli_politropici.1267458482.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)

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