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A6.1. Efficienza della convezione superadiabatica. Indeterminazione sui raggi stellari.
Il corrente trattamento della convezione superadiabatica negli
inviluppi stellari richiede di operare assunzioni sul valore del
parametro libero l = lunghezza di rimescolamento. Tale parametro
è in genere assunto dell'ordine di grandezza dell'altezza
di scala della pressione HP, definita come la lunghezza su cui
nella stella la pressione si riduce di 1 e-mo
<tex>
$$ H_P=\frac{dr}{dlogP}$$
</tex>
Con analoga definizione è stata usata anche l'altezza di scala
della densità <tex>$H_{\rho}$</tex> che ha il pregio di non consentire
inversioni di pressione ma il contemporaneo difetto di richiedere
valutazioni più onerose, attraverso opportune iterazioni.
Per HP si ha infatti direttamente
<tex>
$$\frac{1}{H_P}=- \frac{dlogP}{dr} = - \frac{1}{P} \frac{dP}{dr}= \frac {GM_r \rho}{ Pr^2} $$
</tex>
mentre per <tex>$H_{\rho}$</tex>, ricordando che
<tex>$P={\kappa \rho T$}/{\mu H} </tex> da cui <tex>$dlogP = dlog \rho + dlog T$</tex>,
si ha
<tex>
$$\frac{1}{H_{\rho}} = - \frac {dlog \rho}{dr} = - \frac {dlog P}{dr} -
\frac{dlog T}{dr} $$
</tex>
che mostra come il valore di <tex>$H_{\rho}$</tex> dipenda dal
gradiente di temperatura che esso stesso condiziona, da cui la
necessità di procedure iterative. Si noti che risulta <tex>$H_{\rho}
= H_p /(1 - \nabla)$</tex> , da cui risulta <tex>$H_{\rho} > H_P$</tex> ma anche
<tex>$\nabla \le 1$</tex> che è facilmente riconoscÏbile come condizione
per non avere inversioni di densità.
La lunghezza di rimescolamento regola di fatto l'efficienza della
convezione: diminuire l significa ridurre l'efficienza del
trasporto convettivo (nullo per l=0) e di conseguenza aumentare
il gradiente locale, sino a portarlo sul gradiente radiativo per
l=0. La Fig. 6.15 riporta i risultati di un
esperimento numerico, mostrando l'effetto di diverse assunzioni su
l sull'andamento di pressione e temperatura nell'inviluppo di
una struttura di 1 <tex>M$_{\odot}$</tex> supposta a logL=3, logTe=3.57.
Minore il valore di l maggiore il gradiente, e quindi viene
raggiunta più rapidamente la ionizzazione totale e minore è
l'estensione della zona convettiva. In ogni caso, tutte le
integrazioni convergono verso l'interno ad un comune andamento, a
indicazione che il trattamento della convezione superadiabatica
non modifica la struttuta interna di una stella e, quindi, non
influenza la luminosità della struttura. Le variazioni indotte
nella zona convettiva diventano infatti rapidamente trascurabili a
confronto della variazioni nelle zone più interne.
Fig. 6.15 Correlazione tra pressione e temperatura
nell'inviluppo di una struttura di 1 <tex>M$_{\odot}$</tex> (Y=0.20. Z=4
10-4) posta a <tex>log L/L$_{\odot}$= 3</tex>, logTe=3.57 per diverse
assunzioni sul valore della lunghezza di rimescolamento.
Ne segue la regola generale per la quale l'incertezza su l si
traduce in una incertezza sui raggi stellari (sulle temperature
efficaci) ma non sulle luminosità. L'effetto sulle strutture
stellari può essere compreso osservando che se la temperatura
centrale è determinata dall'efficienza delle reazioni nucleari
allora minore l implica maggior gradiente nelle regioni
superadiabatiche e, in definitiva, minore temperatura efficace
alla superficie (= maggiori raggi stellari). Tale effetto risulta
tanto più rilevante quanto minore la densità degli inviluppi
e, quindi, tanto maggiore la richiesta di superadiabaticità.
La Fig. 6.16 mostra le varie collocazioni nel diagramma
HR di una Sequenza Principale calcolata con diverse lunghezze di
rimescolamento. Strutture con logTe <tex>$\ge$</tex> 3.9 non risentono del
valore della mixing length per avere inviluppi radiativi o con
convezione in questo contesto trascurabile. Al di sotto di questa
temperatura, come previsto, all'aumentare della mixing length le
strutture si spostano verso temperature efficaci maggiori. Si noti
peraltro come al diminuire della massa, e al conseguente
decrescere della temperatura efficace, l'influenza della mixing
length torni a decrescere. Ciò è dovuto al fatto che al
decrescere della massa cresce la densità negli inviluppi e
stelle di massa molto piccola tendono conseguentemente a
sviluppare strati convettivi sempre più adiabatici
Fig. 6.16 Collocazione nel diagramma HR di Sequenze
principali (Y=0.10, Z=10-3) per varie assunzioni sulla
lunghezza di rimescolamento.
L'evoluzione verso una Gigante Rossa implica invece un'espansione
degli inviluppi ed una drastica diminuzione delle densità
subatmosferiche, con conseguente richiesta di forte
superadiabaticità. Se ne hanno, in linea di principio, le
drammatiche conseguenze illustrate in Fig. 6.17 nel caso
di una struttura di 1 <tex>M$_{\odot}$</tex>. La Figura mostra come la
lunghezza di rimescolamento abbia una limitata influenza anche
sulla luminosità del “Bump” delle Giganti Rosse. Aumentando il
valore di l tale luminosità tende ad aumentare leggermente: se
ne trae l'evidenza che all'aumentare di l diminuisce leggermente
la profondità massima raggiunta dalla convezione superficiale.
Fig. 6.17 Tracce evolutive di una stella di 1 M per
le varie indicate assunzioni sulla lunghezza di trimescolamento.Le
frecce indicano la collocazione del “Bump” delle Giganti Rosse
Allo stato attuale delle nostre conoscenze il valore della
lunghezza di rimescolamento deve essere ricavato tramite opportune
calibrazioni su strutture reali. E' molto usata la calibrazione su
Modelli Solari Standard che fornisce il valore <tex>$ l \sim 1.9 H_p$</tex>.
A priori, nulla garantisce che tale calibrazione possa essere
estesa a strutture con masse, composizioni chimiche e fasi
evolutive diverse. E' peraltro di grande interesse rilevare che lo
stesso valore di l produce la corretta temperatura efficace per
i rami delle Giganti Rosse negli Ammassi Globulari sopra un esteso
intervallo di metallicità, talchè la scelta <tex>$\alpha$ = 1.9</tex> appare al momento la più corretta. Notiamo
infine che usare un SSM come calibratore implica tenere nel dovuto
conto gli effetti della diffusione degli elementi all'interno
della struttura. Pseudo-SSM calcolati senza diffusione forniscono
il valore <tex>$\alpha \sim$ 1.6</tex>, talvolta incongruamente utilizzato in
taluni calcoli evolutivi.