A6.5 Isocrone teoriche e funzioni di luminosità per Ammassi Globulari
La collocazione nel diagramma HR delle stelle di un ammasso
stellare deve essere considerata come il luogo, ad un prefissato
tempo t0 (isocrona), dei punti rappresentativi di stelle
in moto lungo traiettorie prefissate (le tracce evolutive)
determinate, per ogni assunta composizione chimica, dall'unico
parametro M = massa delle stelle. Si è qui assunto
implicitamente che le fluttuazioni nei tempi della formazione
stellare siano trascurabili rispetto ai tempi evolutivi. Lungo un
isocrona è dunque L = L(M,t) Te=Te(M,t) al variare del parametro
M. Con terminologia mutuata dall'idrodinamica diremo in definitiva
che le tracce evolutive delle strutture costituiscono le
linee di corrente del fluido stellare, mentre l'isocrona
rappresenta la linea materiale del fluido all'istante
t=t0.
Fig. 6.24 La relazione massa-luminosità lungo
isocrone teoriche per età comprese tra 9 e 21 miliardi di
anni.
Si è già indicato come nelle fasi evolutive avanzate aumenti
la velocità evolutiva, definibile attraverso il valore delle
derivate $(\partial L/\partial t)_M$ e
$(\partial T_e/\partial dt)_M$
che regolano la variazione con il tempo della posizione di
una struttura nel diagramma HR. Si è anche intuitivamente
indicato come in tali condizioni sia lecito confondere l'isocrona
con la traccia evolutiva comune al ridotto intervallo di tracce
evolventi.
Possiamo precisare le motivazioni e i limiti di una tale
approssimazione definendo lungo una generica isocrona la variabile
curvilinea S, cosi che S(M,t) risulti univocamente determinata e
implicitamente resolubile rispetto a qualsivoglia delle
variabili M,t. Dalla definizione di isocrona si ha allora:
$$ dt(M,S) = (\frac{\partial t}{\partial M})_S dM+ (\frac{\partial t}{\partial
S})_M dS$$
da cui si ottiene per la variazione delle masse lungo l'isocrona
$$(\frac {\partial M}{\partial S})_t= - ( \frac {\partial M}{\partial t})_S (\frac {\partial t}{\partial S})_M $$
Si verifica cosi innanzitutto che per
$$(\frac {\partial S}{\partial t})_M \rightarrow \infty \ \ \ (\frac {\partial M}{\partial S})_t \rightarrow
0 $$
cioè che al crescere della velocità evolutiva
$(\partial S/ \partial t)_M$ tende a zero la variazione di massa lungo l'isocrona.
L'osservazione fornisce non solo la collocazione nel diagramma HR
della linea isocrona, ma anche il numero di stelle dN che popolano
l'intervallo di ascissa curvilinea dS. Il dato
osservativo $\Phi$=dN/dS è correlabile alle proprietà evolutive, risultando
$$\Phi(S,t_0) = \Psi(M) (\frac{\partial M}{\partial S})_t =
-\Psi(M) (\frac{\partial M}{\partial t})_S(\frac{\partial
t}{\partial S})_M $$
avendo indicato con $\Psi$(M) = dN/dM la distribuzione
di masse propria dell'ammasso (IMF = Initial Mass Function). E' facile riconoscere che l'espressione precedente
rappresenta semplicemente l'espressione euleriana dell'equazione
di continuità. Per fasi evolutive avanzate, laddove tende a zero
l'intervallo di masse popolanti l'isocrona, potremo porre $\Psi(M)
\sim cost$ e cosi anche per il flusso temporale lungo l'isocrona
($\partial M/\partial t)_S \sim cost$. Se ne ricava che, sotto
tali condizioni, il numero di stelle in una fase evolutiva
avanzata risulta proporzionale al tempo speso dalle stelle
evolventi lungo la loro traccia in tale fase.
Fig. 6.25 Funzione di luminosità per l'Ammasso
Globulare NGC6356
confrontata con le predizioni teoriche per la
distribuzione dal Turn Off sino al tip del ramo delle giganti.
I dati teorici assmono [Fe/H]=-0.9, età 14 Gyr, (m-M)v = 18.05.
Come utile applicazione di tale relazione abbiamo in precedenza
discusso il caso della funzione di luminosità del ramo
delle Giganti Rosse in un Ammasso Globulare.
A titolo orientativo la Fig. 6.24 riporta la distribuzione teorica
massa-luminosità lungo isocrone di età compresa tra 9 e 21
Gyr. Come atteso, la variazione della massa interessa
essenzialmente le strutture di Sequenza Principale. Le subgiganti che si collocano
tra il Turn Off e la base del ramo delle giganti hanno variazioni
già più contenute, e dalla base delle giganti la massa
evolvente diventa sensibilmente costante. Si è a suo tempo
indicato come lungo il ramo delle giganti si possa porre
$$log\tau \propto logL \ \ \ {\rm dove} \ \ \ \tau = \frac{dt}{dlogL}$$
è la velocità evolutiva (in luminosità) delle
giganti. Mostreremo qui che tale relazione è conseguenza diretta
del fatto che lungo il ramo delle Giganti Rosse, come
ogniqualvolta si sia in presenza di stelle con nucleo degenere,
esiste una relazione massa del nucleo-luminosità
$$L = M_n^\alpha$$
che ci indica come in tali strutture sia la massa del
nucleo degenere a governare la luminosità di una stella.
A fianco della precedente relazione potremo infatti considerare
l'ulteriore relazione che collega la luminosità della struttura
alla crescita temporale della massa del nucleo
$$ dM_n = \mu L dt $$
dove $\mu$ rappresenta la massa di elio sintetizzato
nella produzione dell'unità di energia. Differenziando la prima
relazione si ottiene
$$ dM_n =\frac{1}{\alpha}L^{\frac {1-\alpha}{\alpha}}dL $$
che sostituita nella seconda relazione conduce con
facili passaggi a
$$\frac{dt}{dlogL} = \tau = \frac{1}{\mu \alpha}L^{\frac {1-\alpha}{\alpha}} $$
da cui la attesa relazione
$$log \tau = cost + \frac{1-\alpha}{\alpha}logL $$
La Fig.6.25 mostra come i riscontri sperimentali siano
in generale in buon accordo con le previsioni, rivelando anche il
bump delle giganti prodotto dall'incontro della shell di
combustione di H con la discontinuità prodotta dall'affondamento
della convezione superficiale.