Dal teorema del Viriale, per una struttura quasi stabile deve valere

$$2T+\Omega = 0$$

con l'ormai usuale significato dei simboli. Si può indagare più a fondo il bilancio energetico della struttura ricordando (–> A2.1) che l'energia interna per particella risulta

$$u = \frac{n}{2} kT$$

dove n è il numero di gradi di libertà. Per l'energia cinetica della particella si ha in particolare

$$w = \frac{3}{2} kT$$

da cui

$$w = \frac{3}{n} u = \frac{3}{2} (\frac{2}{n}) u$$

Ponendo $\gamma$ = 1 +2/n, $\gamma$ -1= 2/n e per l'energia cinetica si ha la forma

$$w=\frac{3}{2}(\gamma-1) u$$

Dalla termodinamica elementare si ricava facilmente che $\gamma$ è il rapporto $C_P /C_V$ dei calori specifici a pressione o volume costanti.

La precedente relazione tra energia cinetica ed energia totale della materia consente di ricavare un dettagliato bilancio energetico del processo di contrazione. L'energia totale posseduta dalla struttura risulterà infatti, ponendo U = $\Sigma_i$ u$_i$

$$E = U + \Omega$$

ma per il viriale, risultando T=$\Sigma_i$ w$_i$, deve anche valere

$$3 (\gamma - 1) U + \Omega = 0$$

da cui si ricava in definitiva

$$ E = \frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} \Omega $$

Per una contrazione, d$\Omega < 0$, e le due precedenti relazioni forniscono

$$ dE =\frac{3\gamma - 4}{3(\gamma - 1)} d\Omega $$

$$ dU = -\frac {1}{3(\gamma - 1)} d\Omega$$

Ne segue che per $\gamma >$ 4/3 la contrazione comporta una diminuzione di E: è questa l'energia disponibile per essere irradiata. Nel contempo la contrazione implica un aumento di U, confermando che in tal caso la contrazione aumenta l'energia interna e con essa l'energia cinetica della struttura.

Per un gas perfetto monoatomico $\gamma$ = 5/3<, W = U, e si riconosce come metà dell'energia guadagnata dalla contrazione vada in energia cinetica delle particelle e metà venga irradiata. E' subito visto che al diminuire di $\gamma$ aumenta la frazione di energia gravitazionale che deve essere immagazzinata come energia interna per mantenere l'equilibrio. Al limite $\gamma$ = 4/3 (gas di fotoni) tutta l'energia guadagnata dalla contrazione deve andare in energia interna.

Le precedenti considerazioni forniscono agevolmente un criterio di stabilità per la struttura. Sinchè $\gamma >$ 4/3 resta possibile l'equilibrio di una struttura stellare, in quanto l'energia guadagnata nella contrazione è sufficiente per innalzare adeguatamente l'energia interna e soddisfare le richieste del viriale. Per $\gamma <$ 4/3 ciò non è più possibile: l'energia guadagnata dalla contrazione diventa minore di quella necessaria per mantenere l'equilibrio idrostatico e si deve manifestare una instabilità gravitazionale. La condizione $\gamma >$ 4/3 è quindi condizione necessaria per la stabilità delle strutture stellari.