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c02:teoria_mixing-lenght

A2.5 La teoria della mixing-length

Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento di elementi di convezione (“bolle”) che, iniziando il loro moto in equilibrio con l'ambiente, percorrano adiabaticamente un tragitto “l” per cedere infine l'eccesso di energia termica all'ambiente circostante. Il tragitto “l” prende il nome di lunghezza di rimescolamento o mixing length. Se $dT/dR$ è il gradiente dell'ambiente in cui si muove la bolla, la differenza di temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto
$$\Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)] l=[(dT/dP)_{ad}-(dT/dP)] (dP/dr) l$$
Poichè $dP/dr$ è negativo, si riconosce immediatamente che vi sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo quando la zona è instabile per convezione, cioè $dT/dP $>$ (dT/dP)_{ad}$ (Criterio di Schwarzschild $\rightarrow 2.2$)
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Figura 2.9 Andamento dei gradienti (scala di destra) e del peso molecolare $\mu$ (scala di sinistra) in funzione della pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II, 1.5 M$_{\odot}$ in Sequenza Principale, log Te = 3.91. Il gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno.
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Figura 2.10 Come in figura 2.9, ma per una stella di 1.25 M$_{\odot}$, log Te = 3.83. Al diminuire della temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni più interne (più dense) il gradiente locale tende al gradiente adiabatico.

Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il calore scambiato al termine del tragitto sarà $MC_P \Delta T$, ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava per il flusso trasportato dalla convezione
$$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$
L'esistenza di un gradiente di temperatura implica peraltro anche un trasporto radiativo (<tex>$\rightarrow A2.2$</tex>)
$$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$
così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava
$$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} - (\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}) (\frac {dT}{dr}) $$
da cui
$$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}} {\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$
Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente ($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{rad}$ mentre per convezione dominante ($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr \rightarrow (dT/dr)_{ad}$.

Per valutare le velocità degli elementi di convezione possiamo osservare che per il principio di Archimede la forza agente sull'elemento sarà
$$F=g \Delta \rho V$$
dove g è la gravità locale, V il volume dell'elemento e $\Delta \rho$ è la differenza di densità tra l'ambiente e la bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi variazioni del grado di ionizzazione) $\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$, dove per ogni tragitto parziale x ($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/dr)_{ad}-(dT/dr)_{amb}]x$. Applicando il teorema delle forze vive (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene così al termine del tragitto
$$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V \frac {\Delta T}{T}xdx$$
da cui
$$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- (\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- (\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$
Introducendo come valori medi lungo la traiettoria $v=v(l)/2$ e $\Delta T(l)= \Delta T/2$, osservando che per l'equilibrio idrostatico si ha che
$$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} = -\frac{dT}{dP}g\rho$$
si ricava infine
$$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/2}$$
che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore della mixing length consentono la determinazione di $v$ e $\nabla_{amb}$. Quest'ultimo, in particolare, fornisce il valore del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e, in quanto tale, viene sovente indicato come $\nabla_{conv}$
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Figura 2.11 Andamento della temperatura in funzione della pressione per il modello di figura 2.10 per due diverse assunzioni sulla lunghezza di rimescolamento. All'aumentare di “l” aumenta l'efficienza della convezione e diminuisce il gradiente di temperatura. In ogni caso le diverse soluzioni convergono verso una comune soluzione interna.

Non può sfuggire l'estrema semplificazione del modello adottato, ove -ad esempio - viene trascurata la viscosità del mezzo e vengono trascurati gli scambi di energia lungo il tragitto degli elementi di convezione. Ancor più pesante è l'assunzione di una convezione per “bolle” a fronte dell'evidenza osservativa (nel Sole) di una convezione per colonne, e quindi “non locale”. La teoria della mixing length è nondimeno utilizzata come un formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che finiscono col dipendere dal parametro $l$ che, di fatto, viene a regolare l'efficienza del trasporto convettivo. In tal senso $l$ viene riguardato come un parametro libero il cui valore va determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto sulla base di un riscontro dei risultati ai risultati osservativo sperimentali. In questo quadro la versione semplificata della teoria, qui presentata come proposta da Demarque e Geisler, è non meno valida della più sofisticata versione originalmente proposta da Erika Bohm-Vitense, nella quale veniva ulteriormente elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell'elemento di convezione.

Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere una mixing length proporzionale all' altezza di scala di pressione, $H_P$
$$ l = \alpha H_P$$
dove $H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$ e $\alpha$ è scelto tra 0.5 e 2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di convezione può conservare la propria individualità per tragitti molto superiori a quello per cui la pressione si riduce di un e-mo. In analogia con la precedente formulazione, la mixing length può essere anche riferita a l'altezza di scala di temperatura o a quella di densità. Quest'ultima in particolare ha in passato goduto di una certa popolarità, perchè elimina le inversioni di pressione che talora si manifestano con l'uso $H_P$.

Le Figure 2.9 e 2.10 riportano a titolo di esempio l'andamento dei vari gradienti nelle zone subatmosferiche di stelle di sequenza principale di varia massa. Al diminuire della massa stellare aumenta la densità degli strati subatmosferici, aumenta quindi la capacità termica della materie e, come mostrato nelle figure, il gradiente convettivo tende sempre più verso il gradiente adiabatico.

E' importante notare come l'incertezza sull'efficienza della convezione superadiabatica si trasferisca in genere in un incertezza sui raggi stellari, ma non sulle rispettive luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di $l$ finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. 2.11), Si può calibrare $\alpha$ richiedendo, ad esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la temperatura efficace) osservato. Si ricava così $l\simeq 1.8$. Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi $\alpha$.

Notiamo infine come la teoria della mixing length, nei limiti in cui si accettino le predizioni sulla velocità, possa fornire anche indicazioni sulla consistenza dell'overshooting. Il tragitto degli elementi nella zona radiativa è infatti ricavabile dall'applicazione del teorema delle forze vive alle forze di frenamento che in tale zona si vengono a creare.




c02/teoria_mixing-lenght.txt · Ultima modifica: 23/11/2017 15:34 da marco