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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+===== 2.1 L'equilibrio delle strutture stellari =====
+<WRAP justify>
+La diffusa evidenza del fenomeno "stella" testimonia che la
+formazione di stelle costituisce una processo spontaneo e naturale
+nell'evoluzione della materia nell'Universo. Ed in effetti il
+[[wp.it>Sole]], come tutte le altre stelle, indubbiamente altro non è che
+il prodotto di una aggregazione spontanea di materia diffusa sotto
+l'influenza della [[wp.it>Interazione_gravitazionale|gravitazione]]. La storia dell'evoluzione di una
+stella sarà  dunque la storia della contrazione di una massa di
+gas sotto l'influenza del proprio campo gravitazionale (//struttura autogravitante//).
+Per affrontare un tale argomento
+conviene esaminare con qualche dettaglio la struttura di tali
+oggetti, al fine di comprenderne e di prevederne le principali
+caratteristiche. Ciò può essere fatto investigando in forma
+quantitativa le problematiche che vengono suggerite da pur
+semplici evidenze osservative.
+La prima di queste evidenze è che il Sole mantiene ed ha
+mantenuto per un lunghissimo tempo le sue dimensioni. La materia
+che costituisce il Sole, pur soggetta ad una intensa forza
+gravitazionale, non mostra  di muoversi verso il centro di
+gravità con // tempi scala meccanici//, cioè  con i tempi
+tipici dei moti che si sviluppano sotto l'azione della forza
+gravitazionale. Per fissare le idee, possiamo valutare che alla
+superficie del nostro Sole, essendo massa e raggio del Sole
+<m>M = 1.989 10^33 gr R = 6.960 10^10 cm</m>, si ha una accelerazione
+di gravità
+<m>g = GM/R^2 approx 6.67 * 10^-8 * 1.99 10^33 / {4.84 10 ^ 21} approx 2.74 * 10^4 cm/{sec^2}</m>
+circa 30 volte superiore che alla superficie della Terra. Poichè
+in un moto uniformemente accelerato  <m>S=gt^2/2</m>, un corpo alla
+superficie del Sole sul quale agisse liberamente la gravità
+percorrerebbe uno spazio pari al raggio del Sole in un tempo
+<m>t = sqrt{2R/g} approx 2 * 10 ^3 sec approx 30 minuti</m>.
+Si ricava così  un ordine di grandezza dei tempi caratteristici
+sui quali opererebbe la gravità su scala solare. I <m>2 * 10^3</m>
+secondi ricavati assicurano che //se la forza di gravità
+fosse libera di operare, il Sole dovrebbe rapidamente modificarsi
+sotto i nostri occhi.// Poichè ciò non avviene, dobbiamo
+concludere che la  forza di gravità  è contrastata ed
+annullata dalle forze di [[wp.it>pressione]] generate nel gas, producendo
+una struttura che definiremo //quasi stazionaria//, perchè -
+come constateremo - pur se le forze di pressione annullano le
+forze di gravità //la struttura è costretta sia pur lentamente
+ad evolvere.//
+{{:c02:figura_02_01.jpg?500}}
+**Figura 2.1** Il bilancio della forza di gravità F<sub>g</sub>
+e delle forze di pressione F<sub>p</sub>  per un generico elemento di
+materia di volume dV = dS dr.
+\\
+\\
+E' facile tradurre le precedenti considerazioni in una relazione
+quantitativa. Assumendo la simmetria sferica della struttura
+solare - come suggerito dall'evidenza osservativa -  il bilancio
+tra le forze di pressione e quelle gravitazionali (fig. 2.1) per
+un generico elemento di massa <m>dm = rho dV = rho dS dr</m> fornisce
+la relazione dell' //equilibrio idrostatico//
+\\
+[1] <m>{dP(r)}/dr  = - G {M_r(r) rho(r)} / r^2  dr</m>
+\\
+dove P rappresenta la pressione totale operante nell'ambiente
+(quindi non la sola pressione del gas <m>right</m> [[c02:a0201|A2.1]]), <m>rho</m>
+la densità locale ed M<sub>r</sub>  la massa contenuta all'interno del
+generico raggio r.
+Questa equazione fornisce una prima relazione tra le tre grandezze
+incognite P,  <m>rho</m>  ed M<sub>r</sub> , assicurando che la pressione deve
+crescere con continuità muovendosi verso l'interno della stella.
+In realtà una delle incognite è solo formale, perchè dalla
+definizione di M<sub>r</sub>  si ricava subito
+l' //equazione di continuità//
+\\
+[2] <m>dM_r = 4 pi r^2 rho dr</m>
+\\
+Aggiunta alla precedente, l'equazione di continuità forma un
+sistema di due equazioni differenziali nelle tre indicate
+incognite. Dalla sola condizione di equilibrio non è dunque
+possibile definire l'andamento delle variabili fisiche lungo la
+struttura, e ciò non  sorprende perchè la struttura medesima
+dipenderà da come  <m>rho</m> e P sono tra loro collegate, cioè
+dall'//equazione di stato// che per ogni assegnata composizione
+della materia consisterà  in una relazione del tipo
+\\
+[3] <m>P = P(rho,T)</m>
+\\
+E' subito visto che l'introduzione dell'[[wp.it>equazione di stato]], se
+aumenta il numero delle equazioni aumenta anche il numero delle
+incognite, introducendo la nuova incognita "temperatura" <m>T(r)</m>.
+Come peraltro prevedibile, la distribuzione delle temperature è
+quindi un ingrediente essenziale nel determinare lo stato della
+struttura. Sarà di conseguenza necessario, in linea del tutto
+generale, ricorrere ad opportune valutazioni delle leggi fisiche
+che regolano la distribuzione delle temperature nella materia
+stellare, determinando l'andamento del //gradiente di
+temperatura//  dT/dr.
+Notiamo che la  presenza di un gradiente di temperatura implica la
+conseguente presenza di un flusso di energia  che tende a
+riequilibrare lo stato energetico dei diversi strati di materia.
+Le interazioni particella-particella e fotone-particella tendono
+inevitabilmente a ridistribuire l'energia, producendo un trasporto
+di calore verso le zone a minor temperatura. E' peraltro noto come
+i possibili meccanismi per tale trasporto siano [[wp.it>conduzione_termica|conduzione]],
+[[wp.it>convezione]] ed [[wp.it>irraggiamento]].  Escludendo per il momento il
+caso della //convezione//, negli altri due casi si ha - come regola
+generale - che il flusso di calore è proporzionale al gradiente
+\\
+[4] <m>dT/dr  =  cost * phi</m>
+\\
+relazione che può essere letta come una delle tanti leggi di
+proporzionalità tra causa (dT/dr) ed effetto (il flusso <m>phi</m>),
+una sorta di [[wp.it>legge di Ohm]] dove la costante rappresenta la
+"resistenza" al trasporto. La materia all'interno di una stella si
+trova in generale nello stato gassoso, cui corrisponde (ma con
+importanti eccezioni) una trascurabile efficienza dei meccanismo
+conduttivi. In tal caso si può dimostrare (<m>right</m> [[c02:a0202|A2.2]])
+che tra il flusso trasportato per radiazione (dai fotoni) ed il
+gradiente di temperatura intercorre la relazione
+\\
+[5] <m>dT/dr=-3/{4ac}{overline{k}rho}/{T^3} phi</m>
+\\
+dove a = costante del corpo nero = 7.6 10<sup>-15</sup> cm, c=
+velocità della luce e  <m>overline{kappa}</m> //opacità// per
+grammo di materia è definita dalla relazione
+<m>overline{kappa}rho=1/lambda</m>
+con  <m>lambda</m> cammino libero medio dei fotoni: minore il cammino
+libero medio maggiore l'opacità.
+Da tale equazione del  //trasporto radiativo//  si ricava non solo che un
+gradiente di temperatura genera un flusso, ma anche che la
+presenza di un flusso implica un gradiente di temperatura.
+L'emergere di un flusso luminoso dalle strutture stellari è
+quindi indicazione che la temperatura cresce dalla superficie
+verso l'interno, e che tale aumento deve continuare sinché la
+struttura è percorsa da un flusso di energia uscente.  Se ne
+trae anche la conseguenza che se nelle zone centrali di una
+struttura stellare non  vi sono sorgenti (positive o negative) di
+energia, allora tali zone devono tendere ad una situazione
+isoterma. Un gradiente di temperatura produrrebbe infatti un
+flusso volto a riequilibrare le differenze di temperatura.
+Nell'equazione del trasporto  il flusso  <m>phi</m>  locale può
+utilmente  essere espresso, per ogni r,  in termini della flusso
+energetico totale attraverso la superficie sferica di raggio r
+(<m>L _r (r)= luminosità</m>)
+\\
+ <m> L_r = 4 pi r^2 phi </m>
+\\
+talchè l'equazione del trasporto diventa, nel caso di  //trasporto radiativo//
+\\
+[6] <m>dT/dr = - {3/{4ac}} * {{overline{kappa} rho}/{T^3}} * {L_r/{4 pi r^2}}</m>
+\\
+Abbiamo così una quarta relazione, che introduce l'ulteriore
+incognita L<sub>r</sub> , così che in totale si hanno quattro equazioni
+che contengono le sei variabili r, L <sub>r</sub> , P, T, M <sub>r</sub> ,  <m>rho</m> . La
+condizione su L <sub>r</sub>  è peraltro subito fornita dalla
+[[wp.it>Legge_di_conservazione_dell'energia|conservazione dell'energia]]
+\\
+[7] <m>dL_r  dr  = 4  pi r^2 rho varepsilon</m>
+\\
+dove  <m>varepsilon</m>  rappresenta la  produzione di energia per
+grammo di materia e per secondo. La relazione precedente
+rappresenta il bilancio energetico, stabilendo che se l'energia
+totale che fluisce attraverso la struttura subisce una variazione
+tra r e r+dr ciò e' dovuto alla produzione o assorbimento di
+energia nella corrispondente massa <m>dm =  4 pi r^2 rho dr</m> . E'
+proprio questa diretta collegabilità al bilancio energetico che
+fa preferire l'uso della variabile L <sub>r</sub>  nell'equazione  del
+trasporto.
+Con questa ultima relazione si raggiunge un sistema di cinque equazioni
+(di cui quattro differenziali) che legano i sei parametri <m>r, L _r .
+P, T, M _r ,  rho</m>
+  - <m>dP/dr right</m>  equilibrio idrostatico
+  - <m>dM _r /dr  right</m>  equazione di continuità
+  - <m>dT/dr  right</m>  equazione del trasporto
+  - <m>dL _r /dr right</m>  conservazione dell'energia
+  - <m>P = P( rho , T)  right</m>  equazione di stato
+sistema che, con le opportune condizioni al contorno,  può
+essere risolto, ricavando l'andamento di cinque  delle precedenti
+variabili in funzione dell'andamento della sesta variabile assunta
+come variabile indipendente.
+Ripercorrendo  le  assunzioni operate concludiamo che //il sistema
+di equazioni governa ogni sistema a simmetria sferica,
+autogravitante, in equilibrio idrostatico e sinchè si resti nel
+campo di applicabilità della meccanica non relativistica//
+(<m>right</m>[[c02:equazione_di_oppenheimer-volkoff|A2.3]]). Al variare della composizione chimica della
+materia stellare, le soluzioni si differenzieranno non per
+l'algoritmo delle equazioni fisico matematiche sin qui descritte,
+ma per il diverso comportamento fisico della materia
+``depositato'' in tali equazioni dalle tre relazioni
+  - <m>P(rho, T) right</m>  equazione di stato
+  - <m>overline{kappa} (rho, T)  right</m>  opacità della materia stellare
+  - <m>varepsilon (rho, T) right</m>  produzione di energia
+ove si è esplicitamente indicato come ci si attenda che  non
+solo la //pressione// ma anche l'//opacità// e la //produzione di energia//
+dipendano dalle condizioni termodinamiche della materia oltre che
+dalla non esplicitata composizione chimica della materia medesima.
+</WRAP>
+\\
+[[c02:p0202|→ Paragrafo 2.2]]
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+~~DISQUS~~