c02:teoria_mixing-lenght
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A2.5 La teoria della mixing-length ====== | ||
+ | |||
+ | <WRAP justify> | ||
+ | Assumiamo che la convezione sia descrivibile come lo spostamento | ||
+ | di elementi di convezione (" | ||
+ | equilibrio con l' | ||
+ | " | ||
+ | circostante. Il tragitto " | ||
+ | rimescolamento// | ||
+ | è il gradiente | ||
+ | dell' | ||
+ | temperatura tra bolla ed ambiente sarà a fine tragitto | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\Delta T=[(dT/ | ||
+ | \\ | ||
+ | Poichè $dP/dr$ è negativo, si riconosce immediatamente che vi | ||
+ | sarà trasporto di energia (la bolla sarà più calda) solo | ||
+ | quando la zona è instabile per convezione, cioè | ||
+ | $dT/dP $>$ (dT/ | ||
+ | (Criterio di Schwarzschild $\rightarrow 2.2$) | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 2.9** Andamento dei gradienti (scala di destra) | ||
+ | e del peso molecolare $\mu$ (scala di sinistra) in funzione della | ||
+ | pressione P negli strati esterni di una stella di Popolazione II, | ||
+ | 1.5 M$_{\odot}$ in Sequenza Principale, log T< | ||
+ | gradiente radiativo raggiunge il valore massimo 45. In superficie | ||
+ | il peso molecolare segnala la presenza di molecole di idrogeno. | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 2.10** Come in figura 2.9, ma per una | ||
+ | stella di 1.25 M$_{\odot}$, | ||
+ | temperatura efficace affonda la zona convettiva e nelle regioni | ||
+ | più interne (più dense) il gradiente locale tende al | ||
+ | gradiente adiabatico. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Poiché lo scambio di calore avviene a pressione costante, il | ||
+ | calore scambiato al termine del tragitto sarà $MC_P \Delta T$, | ||
+ | ove M è la massa della materia a maggior temperatura. Ponendo | ||
+ | che metà della materia partecipi al moto ascendente, si ricava | ||
+ | per il flusso trasportato dalla convezione | ||
+ | \\ | ||
+ | $$F_c= \frac {1}{2}C_P \rho v [(\frac {dT}{dr})_{ad}-(\frac {dT}{dr})] l$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | L' | ||
+ | un trasporto radiativo (< | ||
+ | \\ | ||
+ | $$F_r= -\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}\frac {dT}{dr}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | così che per il flusso totale in regime di convezione si ricava | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ F=F_c+F_r=\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad} - | ||
+ | (\frac {1}{2}C_P \rho v-\frac {T^3}{\overline \kappa rho}\frac {4ac}{3}) | ||
+ | | ||
+ | \\ | ||
+ | da cui | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {dT}{dr}=\frac {F-\frac {1}{2}C_P \rho v (\frac {dT}{dr})_{ad}} | ||
+ | {\frac {T^3}{\overline \kappa \rho}\frac {4ac}{3}-\frac {1}{2}C_P \rho v}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Si riconosce facilmente che per convezione inefficiente | ||
+ | ($C_P \rho v \rightarrow 0)$ $ dT/dr \rightarrow (dT/ | ||
+ | convezione dominante | ||
+ | ($C_P \rho v \rightarrow \infty))$ $ dT/dr | ||
+ | \rightarrow (dT/ | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Per valutare le // | ||
+ | osservare che per il [[Wp.it> | ||
+ | sull' | ||
+ | \\ | ||
+ | $$F=g \Delta \rho V$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove g è la gravità locale, V il volume dell' | ||
+ | $\Delta \rho$ è la differenza di densità tra l' | ||
+ | bolla di convezione. Assumendo un gas perfetto (trascurando quindi | ||
+ | variazioni del grado di ionizzazione) | ||
+ | $\Delta \rho /\rho = \Delta T/T$, | ||
+ | dove per ogni tragitto parziale x | ||
+ | ($0\leq x \leq l) \Delta T=[(dT/ | ||
+ | Applicando il [[Wp.it> | ||
+ | forze vive]] (lavoro = variazione di energia cinetica) si ottiene | ||
+ | così al termine del tragitto | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{1}{2}mv^2=\int_0^l g\Delta \rho V dx=\int_0^l g\rho V | ||
+ | \frac {\Delta T}{T}xdx$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | da cui | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{v(l)^2}{2}\simeq g\frac{1}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | ||
+ | (\frac{dT}{dr})_{amb}]\int_0^l | ||
+ | xdx=\frac{g}{T}[(\frac{dT}{dr})_{ad}- | ||
+ | (\frac{dT}{dr})_{amb}]\frac{l^2}{2}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Introducendo come valori medi lungo la traiettoria $v=v(l)/2$ e | ||
+ | $\Delta T(l)= \Delta T/2$, osservando che per l' | ||
+ | idrostatico si ha che | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac{dT}{dr} = \frac{dT}{dP}\frac{dP}{dr} = | ||
+ | -\frac{dT}{dP}g\rho$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | si ricava infine | ||
+ | \\ | ||
+ | $$v=gl[\frac{H\mu}{8kT}(\nabla - \nabla_{ad})]^{1/ | ||
+ | \\ | ||
+ | che unita alla precedente relazione per il gradiente ambientale | ||
+ | fornisce un sistema di equazioni che, per ogni assunto valore | ||
+ | della mixing length consentono la determinazione di $v$ e | ||
+ | $\nabla_{amb}$. Quest' | ||
+ | del gradiente di temperatura locale in presenza di convezione e, | ||
+ | in quanto tale, viene sovente indicato come $\nabla_{conv}$ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 2.11** Andamento della temperatura in funzione | ||
+ | della pressione per il modello di figura 2.10 per due | ||
+ | diverse assunzioni sulla lunghezza di rimescolamento. | ||
+ | All' | ||
+ | diminuisce il gradiente di temperatura. In ogni caso le diverse | ||
+ | soluzioni convergono verso una comune soluzione interna. | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | Non può sfuggire l' | ||
+ | ove -ad esempio - viene trascurata la [[wp.it> | ||
+ | vengono trascurati gli scambi di energia lungo il tragitto degli | ||
+ | elementi di convezione. Ancor più pesante è l' | ||
+ | una convezione per " | ||
+ | Sole) di una convezione per colonne, e quindi "non locale" | ||
+ | teoria | ||
+ | formalismo che conduce ad una ragionevole correlazione tra le | ||
+ | varie quantità fisiche in gioco, fornendo relazioni che | ||
+ | finiscono col dipendere dal parametro $l$ che, di fatto, viene a | ||
+ | regolare l' | ||
+ | viene riguardato come un parametro libero il cui valore va | ||
+ | determinato non tanto con ulteriori valutazioni teoriche, quanto | ||
+ | sulla base di un riscontro dei risultati ai risultati osservativo | ||
+ | sperimentali. In questo quadro la versione semplificata della | ||
+ | teoria, qui presentata come proposta da Demarque e Geisler, è | ||
+ | non meno valida della più sofisticata versione originalmente | ||
+ | proposta da Erika Bohm-Vitense, | ||
+ | elaborato il problema del tragitto non-adiabatico dell' | ||
+ | convezione. | ||
+ | |||
+ | Nella pratica dei calcoli evolutivi è invalso l'uso di assumere | ||
+ | una mixing length proporzionale all' //altezza di scala di | ||
+ | pressione//, | ||
+ | \\ | ||
+ | $$ l = \alpha H_P$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove $H_P= dlogP/dr =(1/P) dP/dr$ e $\alpha$ | ||
+ | è scelto tra 0.5 e | ||
+ | 2 in base alla considerazione che difficilmente un elemento di | ||
+ | convezione può conservare la propria individualità per | ||
+ | tragitti molto superiori a quello per cui la pressione si riduce di | ||
+ | un e-mo. In analogia con la precedente formulazione, | ||
+ | length può essere anche riferita a l'// | ||
+ | temperatura// | ||
+ | particolare ha in passato goduto di una certa popolarità, | ||
+ | perchè elimina le inversioni di pressione che talora si | ||
+ | manifestano con l'uso $H_P$. | ||
+ | |||
+ | Le Figure 2.9 e 2.10 riportano a titolo di esempio l' | ||
+ | dei vari gradienti nelle zone subatmosferiche di stelle di | ||
+ | sequenza principale di varia massa. Al diminuire della massa | ||
+ | stellare aumenta la densità degli strati subatmosferici, | ||
+ | quindi la capacità termica della materie e, come mostrato nelle | ||
+ | figure, il gradiente convettivo tende sempre più verso il | ||
+ | gradiente adiabatico. | ||
+ | |||
+ | E' importante notare come l' | ||
+ | convezione superadiabatica si trasferisca in genere in un | ||
+ | incertezza sui raggi stellari, ma non sulle rispettive | ||
+ | luminosità. In particolare si può mostrare che per inviluppi | ||
+ | convettivi non troppo profondi le soluzioni per diversi valori di | ||
+ | $l$ finiscono per convergere ad un unica soluzione interna (Fig. | ||
+ | 2.11), Si può calibrare $\alpha$ richiedendo, | ||
+ | esempio, che un modello solare riproduca il raggio (e la | ||
+ | temperatura efficace) osservato. Si ricava così $l\simeq 1.8$. | ||
+ | Nulla assicura peraltro che una tale calibrazione possa essere | ||
+ | estesa a stelle con diversa massa e/o diversa composizione | ||
+ | chimica. Ed in effetti giganti rosse di Pop.II richiedono diversi | ||
+ | $\alpha$. | ||
+ | |||
+ | Notiamo infine come la teoria della [[wp> | ||
+ | cui si accettino le predizioni sulla velocità, possa fornire | ||
+ | anche indicazioni sulla consistenza dell' | ||
+ | degli elementi nella zona radiativa è infatti ricavabile | ||
+ | dall' | ||
+ | frenamento che in tale zona si vengono a creare. | ||
+ | </ | ||
+ | \\ | ||
+ | ---- | ||
+ | ~~DISQUS~~ | ||