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--- c03:degenerazione_elettronica_gas_fermi [22/11/2010 17:49] – marco
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
+====== A3.2 Degenerazione elettronica. Equazione di stato di un gas di Fermi ======
+La teoria cinetica dei gas, così come sviluppata nella
+meccanica statistica, mostra come il concetto di temperatura sia
+indissolubilmente connesso col concetto di
+[[wp>Thermal_equilibrium#Thermal_equilibrium|equilibrio termico]].Il
+principio fondamentale è che per ogni prefissato insieme di N
+particelle contenute in un volume V e di assegnata energia totale E
+//tutte le possibili configurazioni microscopiche compatibili con le
+assegnate condizioni sono equiprobabili//. Ne segue che il
+macrostato che finisce con il realizzarsi è  quello cui
+corrisponde la massima probabilità, cioè il maggior numero di
+microstati. E' questo quello che noi chiamiamo //equilibrio termico//.
+L'obiettivo primario della [[wp.it>meccanica statistica]] è dunque quello
+di valutare tutti i diversi possibili stati microscopici
+corrispondenti ad una assegnata energia totale E delle particelle
+del sistema. E' noto come su questa base si giunga alla nota
+[[wp.it>Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann|distribuzione di Maxwell-Boltzmann]]
+per la velocità delle
+particelle a prefissata temperatura T.
+La considerazione della natura quantistica delle particelle
+introduce, salvando il principio, notevoli modifiche al calcolo
+classico delle configurazioni microscopiche. Dal
+[[wp.it>Principio_di_indeterminazione_di_Heisenberg|principio di
+indeterminazione di Heisenberg]] <tex>($\Delta p_x \Delta x= h$)</tex> si
+ricava che il numero di stati permessi per una particella
+contenuta in un volume V e con quantità di moto p compresa tra
+p e p+dp è dato da
+\\
+\\
+<tex>
+$$ \Delta N= \frac {1}{h^3} 4\pi p^2 dp V = g(p)dp V$$
+</tex>
+\\
+\\
+dove g(p) rappresenta la //densità degli stati//. La
+distribuzione delle particelle in tali possibili stati deve essere
+valutata con l'ulteriore avvertenza che la meccanica quantistica
+opera su particelle //indistinguibili//, il che implica che non
+si devono considerare distinti due stati se due particelle si sono
+solo scambiate di posto. Tale distribuzione dipende infine da
+proprietà globali delle particelle che, in natura, appartengono
+ad una delle due  classi:
+\\
+  * [[wp.it>Fermioni]]: particelle a [[wp.it>spin]] (momento angolare intrinseco) semiintero, quali elettroni, protoni e neutroni,
+  * [[wp.it>Bosoni]]: particelle a spin intero o nullo, quali [[wp.it>fotoni]], [[wp.it>mesoni]], nuclei di <tex>$He^3$</tex>.
+\\
+\\
+{{:c03:figura_03_12.jpg?500}}
+\\
+**Figura 3.12** Il valore del parametro <tex>$\alpha$</tex> al variare
+di <tex>$\rho T^{-3/2}/ \mu_e$</tex>
+\\
+\\
+{{:c03:figura_03_13.jpg?500}}
+\\
+**Figura 3.13** Mappatura nel piano <tex>$\rho / \mu_e$</tex>, T del
+valore del parametro di degenerazione <tex>$\Phi$ = -$\alpha$</tex>
+\\
+\\
+Per le particelle a spin semiintero sussiste  l'ulteriore
+condizione ([[wp.it>principio di esclusione di Pauli]]) secondo la
+quale uno stato non può essere occupato da più di una
+particella, da cui discende che non più di due elettroni (con
+spin opposto) possono occupare uno stato di moto, talchè
+<tex>$g(P)=8\pi p^2/h^3$</tex>. Se ne trae la
+[[wp.it>Statistica_di_Fermi-Dirac|statistica di Fermi-Dirac]],
+secondo la quale, detta <tex>$n(p)dp$</tex> la densità di
+elettroni tra p e p+dp,
+\\
+\\
+<tex>
+$$n(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(E)$$
+</tex>
+\\
+\\
+dove l'indice di occupazione <tex>$P(E)$</tex> di uno stato è dato da
+\\
+\\
+<tex>
+$$P(E)=1/(e^{\alpha +E/kT}+1)$$
+</tex>
+\\
+\\
+e dove, per ogni assunto valore della densità di elettroni <tex>$n_e$</tex>
+e e della temperatura T, il valore di <tex>$\alpha$</tex> resta determinato
+della condizione
+\\
+\\
+<tex>
+$$\int n(p)dp=n_e $$
+</tex>
+\\
+\\
+Poichè <tex>$\rho= n_e \mu_e H$</tex>, il valore di <tex>$\alpha$</tex> resta fissato
+per ogni coppia di valori <tex>$T, \rho/\mu_e$</tex>  (Figg. 3.12, 3.13)
+Si noti come in ogni caso <tex>$P(E)\leq 1$</tex> come
+vuole il principio di esclusione di Pauli. Al crescere di <tex>$n_e$</tex>
+decresce <tex>$\alpha$</tex>, che da valori grandi e positivi (gas classico)
+raggiunge grandi valori negativi (gas degenere). Nel caso di gas
+classico P(E)<< 1 per tutte le energie. Nel caso completamente
+degenere <tex>$\alpha << 0$</tex> e
+\\
+\\
+P(E)=1 per  <tex>$$E/kT<|\alpha|$$</tex>
+\\
+P(E)=0 per  <tex>$$E/kT>|\alpha|$$</tex>
+\\
+\\
+cioè tutti gli stati sono occupati sino all'energia
+<tex>$$ E = |\alpha kT|$$</tex>, che prende il nome di //energia di Fermi//. In tale caso
+\\
+\\
+<tex>
+$$n_e=\int n(p)dp = \frac {8\pi}{3h^3}p_{max}^3$$
+</tex>
+\\
+\\
+che mostra come al crescere di n<sub>e</sub> cresce l'energia massima
+raggiunta dagli elettroni. Tale accadimento è subito compreso
+osservando che in degenerazione completa tutti gli stati ad
+energia minore sono occupati, e ove si spingano altri elettroni
+nell'unità di volume essi devono andare ad occupare stati ad
+alta energia. Si comprende anche come al crescere di n<sub>e</sub> si
+giunga infine a spingere gli elettroni ad energie relativistiche
+anche a basse temperature.
+Nel caso generale, ed in approssimazione non relativistica, si ha
+<tex>$E=p^2/2m_e$</tex> da cui
+\\
+\\
+<tex>
+$$n_e=\int n(p)dp = \frac
+{8\pi}{h^3}\int_{0}^{\infty}\frac {p^2 dp} {e^{\alpha +
+p^2/2m_ekT}+1}$$
+</tex>
+\\
+\\
+con la sostituzione <tex>$x=p^2/2m_ekT$</tex> si ottiene
+\\
+\\
+<tex>
+$$n_e= \frac
+{4\pi}{h^3} (2m_ekT)^{3/2} \int_{0}^{\infty}\frac {x^{1/2}dx}
+{e^{\alpha + x}+ 1}= \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/2}}{h^3}
+F_{1/2}(\alpha)$$
+</tex>
+\\
+\\
+dove <tex>$F_{1/2}(\alpha)$</tex>, come definito dalle precedenti relazioni,
+prende il nome di //funzione "1/2" di Fermi//. Come già
+ricavato per il caso del gas perfetto <tex>($\rightarrow A2.1$)</tex>, la
+pressione elettronica discende dal momento trasportato, da cui
+\\
+\\
+<tex>
+$$P_e=\frac {1}{3}\int_{0}^{\infty}pv_e n(p)dp= \frac
+{8\pi(2m_ekT)^{3/2}}{3h^3}kT F_{3/2}(\alpha)$$
+</tex>
+\\
+\\
+con analoga definizione della funzione di Fermi <tex>$F_{3/2}$</tex>. Per la
+pressione del gas si può quindi porre
+\\
+\\
+<tex>
+$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T+ \frac {8\pi(2m_ekT)^{3/2}}{3h^3}kT F_{3/2}(\alpha)$$
+</tex>
+\\
+\\
+Ricordando che <tex>$n_e=\rho/\mu_e H$</tex> si ottiene infine
+\\
+\\
+<tex>
+$$P=P_i+P_e=\frac {k}{\mu H}\rho T [1+\frac {\mu}{\mu_e}\Phi (\alpha)]$$
+</tex>
+\\
+\\
+dove <tex>$$\Phi(\alpha)=2/3(F_{3/2}/F_{1/2})$$</tex>
+rappresenta il contributo addizionale portato alla pressione dalla
+degenerazione elettronica.
+Per ogni coppia di valori
+<tex>$$\rho,T$$</tex> è possibile ricavare il valore di <tex>$$\alpha$$</tex>  e per ogni
+<tex>$$\alpha$$</tex> ottenere P dalle correnti tabulazioni di <tex>$F_{1/2}$</tex> e
+<tex>$F_{3/2}$</tex> (Fig. 3.14).
+\\
+\\
+{{:c03:figura_03_14.jpg?400}}
+\\
+**Figura 3.14** Il rapporto 2/3 <tex>F$_{3/2}$/F$_{3/2}$</tex>, che
+rappresenta la correzione di degenerazione alla pressione di gas
+perfetto, in funzione del parametro <tex>$\alpha$.</tex>
+\\
+\\
+In letteratura è frequentemente utilizzato il //parametro di
+degenerazione// <tex>$\Psi= -\alpha$</tex>. Si può mostrare che <tex>$\Psi kT$</tex>
+fornisce il potenziale termodinamico di Gibbs per elettrone. Per
+<tex>$$\Psi < -4$$</tex> il gas di elettroni ha un comportamento classico,
+<tex>$$-4 < \Psi < 4 $$</tex> rappresenta la zona di degenerazione parziale, mentre
+per <tex>$$\Psi > 4$$</tex> nel gas domina la pressione di degenerazione.
+Notiamo infine che la presenza di degenerazione elettronica
+modifica anche il comportamento termodinamico che abbiamo studiato
+nel caso di una miscela di gas perfetto e radiazione
+<tex>($\rightarrow A2.1$)</tex>. Utilizzando  la stessa linea di ragionamento adottata in
+quella occasione,  dovremo portare
+\\
+\\
+<tex>
+$$Tds=dU-\frac {P}{\rho^2}d\rho$$
+</tex>
+\\
+\\
+nella forma
+\\
+\\
+<tex>
+$$TdS=C_P dT - E_P dP$$
+</tex>
+\\
+\\
+ricordando però che ora
+\\
+\\
+<tex>
+$$\rho=\rho(\Psi,T)$$
+</tex>
+\\
+\\
+<tex>
+$$P=P_e(\Psi,T)+P_i(\rho,T)+P_r(T) = P(\Psi,T)$$
+</tex>
+\\
+\\
+Con una lunga serie di passaggi e sostituzioniè possibile
+ottenere <tex>$d\Psi$</tex> in funzione di P, T,  <tex>\rho, \Psi</tex>, dP, dT, e
+utilizzando la formula di ricorrenza per le funzioni di Fermi
+\\
+\\
+<tex>
+$$\frac {dF_n(\Psi)}{d\Psi}= nF_{n-1}(\Psi)$$
+</tex>
+\\
+\\
+si ottiene infine
+\\
+\\
+<tex>
+$$C_P=\frac {P}{\rho T}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /2)^2}{L(\Psi)}-\frac {15}{4}\beta)$$
+</tex>
+\\
+\\
+<tex>
+$$E_P=\frac {1}{\rho}(\frac {HP}{\rho kT}\frac{(4-3\beta /2)}{L(\Psi)}-\frac {3}{2})$$
+</tex>
+\\
+\\
+dove
+\\
+\\
+<tex>
+$$L(\Psi)=\frac {1}{\mu_i}+\frac {2}{\mu_e}\frac {F_{1/2}(\Psi)}{F_{-1/2}(\Psi}$$
+</tex>
+\\
+\\
+ e <tex>$\beta = P_G/P = (P_i+P_e)/P$</tex> essendo P, come di consueto,
+la pressione totale. Al limite di non degenerazione
+<tex>($\Psi \rightarrow -\infty$) $L(\Psi)$</tex> tende a <tex>$1/\mu_i + 1/\mu_e$</tex>
+e le relazioni
+precedenti si riconducono alle corrispondenti formule per un gas non degenere.
+\\
+\\
+Nel caso di //completa degenerazione// è facile ricavare
+direttamente le relazioni tra pressione e densità. Nel caso non
+relativistico per la quantità di moto  si ha <tex>$p=m_e v_e$</tex>, da cui
+\\
+\\
+<tex>
+$$P_e =\int_{0}^{p_{max}} p v_e n(p) dp =\int_{0}^{p_{max}} \frac {p^2}{m_e} \frac {8 \pi p^2}{h^3}dp = \frac {8 \pi}{15} \frac {p_{max}^5}{m_e h^3}$$
+</tex>
+\\
+\\
+e poiché
+\\
+\\
+<tex>
+$$n_e = \frac {8 \pi}{3} \frac {p_max^3}{h^3}$$
+</tex>
+\\
+\\
+ricordando che <tex>$n_e = \rho /\mu_e H$</tex> si ricava infine
+<tex>
+ $$P_e =(\frac {3}{8 \pi})^{2/3}\frac {h^2}{5 m_e H^{5/3}} (\frac
+ {\rho}{\mu_e})^{5/3}$$.
+</tex>
+\\
+\\
+Nel caso relativistico
+\\
+\\
+<tex>
+ $$p= \frac{m_e v_e}{(1-v_e^2/c^2)^{1/2}} \ {\rm da \ cui} \ v_e = \frac {pc}{[(m_e c)^2 + p^2]^{1/2}}$$
+</tex>
+\\
+\\
+dalla quale, con percorso analogo al caso precedente non
+relativistico
+\\
+\\
+<tex>
+$$P_e = \frac {1}{8} (\frac {3}{\pi})^{1/3} \frac {hc}{H^{4/3}} (\frac {\rho}{\mu_e})^{4/3}$$
+</tex>
+\\
+\\
+<fbl>
+\\
+\\
+----
+\\
+~~DISQUS~~