Astrofisica Stellare

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====== 3.2 Equazione di stato ======

<WRAP justify>
I contributi alla pressione provengono dai tre componenti del
plasma stellare: ioni, elettroni e radiazione elettromagnetica. La
pressione totale sarà la somma dei contributi dovuti a tali
componenti
\\
\\
$P=P_i+P_e+P_r$
\\
\\
con ovvio significato dei simboli. Si assume in ciò trascurabile
il contributo di //moti collettivi// (convezione, turbolenza), la cui
quantità di moto può peraltro giocare un ruolo non
trascurabile nel caso delle atmosfere stellari.
\\
\\
===== 3.2.1  Il gas perfetto =====

Per ciò che riguarda la componente particellare (ioni ed
elettroni), in molti casi la materia stellare si comporta con
buona od ottima approssimazione come un [[wp.it>gas perfetto]]. Ricordiamo
che per un gas perfetto di particelle libere e tra loro non
interagenti, vale l'//equazione di stato//
\\
\\
$P=nkT$
\\
\\
ove $n$ è il numero di particelle per unità di volume e $k$ la
[[wp.it>Costante_di_Boltzmann|costante di Boltzmann]]. Per la nostra miscela di ioni ed elettroni
varrà quindi
\\
\\
$P=P_i+P_e= (n_i+n_e) kT$
\\
\\
Tale relazione può essere facilmente portata nelle due variabili
$\rho,T$ (proprie delle equazioni di equilibrio), osservando che
per un gas composto da particelle di massa "m" si ha 
\\
\\
$n=\rho/m$
\\
\\
Poiché nel gas stellare la massa è essenzialmente quella degli
ioni, potremo così porre
\\
\\
$P_i= \frac {k}{\mu_i H} \rho T$
\\
\\
dove $\mu_i$ è il //peso molecolare// degli ioni e H la massa
dell'atomo di idrogeno. Il contributo degli elettroni viene
introdotto
 attraverso l'artificio di definire un //peso molecolare medio
per elettrone// $\mu_e= n_i/n_e$  ($=n_i/Z$ in caso di ionizzazione
completa). Si ha così
\\
\\
$P_e=\frac {k}{\mu_e H} \rho T$
\\
\\
e, in totale
\\
\\
 $P_{gas}= \frac {k}{\mu_i H} \rho T + \frac {k}{\mu_e H} \rho T =
\frac {k}{\mu H} \rho T$
\\
\\
avendo posto $1/\mu = 1/\mu_i +1/\mu_e$.
\\
\\
Si noti come la valutazione della pressione degli elettroni
richieda una valutazione dello stato di ionizzazione delle specie
atomiche presenti ($\rightarrow A3.1$). Negli interni stellari è
peraltro in generale lecito assumere la completa ionizzazione
almeno delle due specie atomiche atomiche più abbondanti H e He.
Troveremo infatti che stelle di sequenza principale hanno tipiche
temperature centrali dell'ordine di $10-30 ~10^6$ K, cui
corrisponde una radiazione largamente composta da fotoni di
energia  media $kT\sim 1 keV$ ([[wp.it>raggi X]] duri). Poiché l'energia
di ionizzazione dell'idrogeno è di soli 13.6 eV tale elemento
sarà completamente ionizzato. Così è pure per l'He, i cui
potenziali di prima e seconda ionizzazione risultano pari
rispettivamente a 24.49 eV e 52.17 eV.

//H e He saranno quindi completamente ionizzati nella maggior parte
della materia stellare//, eccettuate solo le parti più esterne
ove la temperature scendono a valori di $10^3-10^4$ K. Ioni di
atomi più pesanti sono invece in grado di conservare gli
elettroni più interni anche a temperature elevate. L'energia di
ionizzazione di un atomo idrogenoide (che ha cioè conservato un
solo elettrone) risulta infatti pari a $W=Z^2m_e^4/2h^2$. Per il
[[wp.it>Ferro]] si ha così $W\sim 9 keV$, ed i nuclei di Fe saranno in
grado di conservare in parte i loro elettroni più interni anche
a temperature dell'ordine della decina di milioni di gradi.

Nel caso di ionizzazione completa è talora utile ricavare il
numero di particelle per unità di volume dalle abbondanze in
massa di idrogeno, elio ed elementi pesanti X, Y e Z. Per queste
tre componenti il numero di nuclei ed il numero di elettroni si
ottiene facilmente dalle relazioni
\\
\\
$n_H = X/H   \rightarrow  n_e = X/H$
\\
\\
$n_{He} = Y/4H \rightarrow  n_e = Y/2H$
\\
\\
$n_{Zi} = X_i/A_i H \rightarrow n_e = X_iZ_i/A_iH$
\\
\\
dove con $X_i$ indichiamo l'abbondanza in massa dell'
i-mo elemento pesante di numero atomico $A_i$ e carica $Z_i$. In
totale si avrà dunque
\\
\\
$$n = (2X + \frac {3Y}{4} + \Sigma \frac {X_i}{A_i} + \Sigma \frac
{X_i Z_i} {A_i })\frac  {\rho}{H}$$
\\
\\
Trascurando $\Sigma X_i/A_i$ ($X_i<<1, A_i \geq 12$) ed osservando
che $Z_i/A_i \sim 1/2$ (cioè esatto per C, N, O, Ne che sono
tra i maggiori contributori a Z) si ottiene infine
\\
\\
$$n \simeq (2X + \frac {3Y}{4} +\frac {Z}{2})\frac {\rho}{H}$$
\\
\\
da cui per il peso molecolare medio ($\rho / \mu H = n$)
\\
\\
$$ \mu = \frac {1}{(2X + \frac {3Y}{4} + \frac {Z}{2}) }$$
\\
\\
Da queste relazioni //si riconosce come, in prima approssimazione,
il peso molecolare medio sia essenzialmente governato dalla
ionizzazione di H e He//, con un contributo solo marginale dei
metalli (avendosi $Z\le 10^{-2}$).
\\
\\
===== 3.2.2 Interazioni coulombiane e degenerazione elettronica =====


Per la componente particellare (ioni, elettroni) si può
agevolemente verificare entro quali limiti l'energia cinetica
predomina sulle interazioni coulombiane, condizione necessaria per
poter assimilare il sistema ad un gas di particelle libere
approssimanti un gas perfetto. Indicando con "d" la distanza media
tra le particelle, per un gas di ioni con carica Ze la condizione
si traduce ad esempio nella relazione
\\
\\
$kT $>>$ Z^2e^2/d$ = E$_{Coul}$
\\ 
\\
Se $N_i$ è il numero di ioni per unità di volume, si ha anche
\\
\\
$N_i (=\rho/\mu H)\sim1/d^3$
\\
\\
dove $\mu$ è il peso molecolare degli ioni e H la massa
dell'atomo di idrogeno. Se ne ricava
\\
\\
$d\sim 1/N^{1/3}\sim(\mu H/\rho)^{1/3}$
\\
\\
e la condizione si traduce nella relazione
\\
\\
$$T/\rho^{1/3}>> \frac {Z^2e^2}{k}\frac {1}{(\mu H)^{1/3}}$$
\\
\\
da cui
\\
\\
$\rho<<4 ~10^{-14}\mu T^3Z^6  gr/cm^3$
\\
\\
condizione in genere ben verificata nelle strutture stellari. Per
temperature T$\sim10^7$ ∞K (combustione dell'idrogeno, Z=1) si
ottiene $\rho<<4.10^7 gr/cm^3$, per T$\sim10^8$ (combustione
dell'elio, Z=2) $\rho<<10^9 gr/cm^3$, cioè valori di densità
che superano ampiamente quanto avremo occasione di verificare
nella larga generalità delle  strutture stellari. Le condizioni
per un sensibile intervento di correzioni coulombiane (alte
densità, basse temperature) appariranno solamente nel caso di
stelle di piccola massa o di [[wp.it>Nana_bianca|nane bianche]], per le quali sarà
necessario introdurre nell'equazione di stato opportuni termini di
correzione coulombiana. Quando E$_{Coul} \sim$ kT il gas inizia a
solidificare e per  E$_{Coul} >$ kT gli ioni sono forzati in una
struttura solida sino a cristallizzare (Fig.3.1).


{{:c03:figura_03_01.jpg?400}}
\\
**Figura 3.1** Mappatura schematica  delle condizioni del
plasma stellare al variare dei parametri temperatura-densità con
schema delle traiettorie evolutive delle condizioni centrali di
strutture stellari.

E' facile infine riconoscere che se sono trascurabili le
interazioni ione-ione, lo sono anche quelle ione-elettrone ed
elettrone-elettrone. Ciòè immediato per Z=1, mentre per Z
maggiori la diminuzione del prodotto delle cariche interagenti
prevale sulla contemporanea diminuzione delle mutue distanze.

Analoghe considerazioni consentono di investigare entro quali
limiti il gas di particelle si può considerare libero da// effetti
quantistici//, imponendo in questo caso che la distanza media tra le
particelle risulti molto maggiore della lunghezza d'onda associata
alle particelle medesime $\lambda = h/p$, dove p=mv rappresenta il
momento delle singole particelle.

Per ioni ed elettroni, dall'equipartizione dell'energia si ha
\\
\\
$m_iv_i^2 = m_ev_e^2$
\\
\\
da cui si ricava immediatamente
\\
\\
$$\frac {m_iv_i}{m_ev_e} =\frac {v_e}{v_i}$$
\\
\\
che mostra come la quantità di moto degli ioni sia sempre molto
maggiore di quella degli elettroni e, conseguentemente, che
saranno in ogni caso gli elettroni ad entrare per primi in regime
quantistico. Con considerazione del tutto analoghe a quelle già
svolte per le interazioni coulombiane, dalla condizione
\\
\\
$\lambda = h /p << d$
\\
\\
osservando che $kT \sim m_ev_e^2$ e, quindi, $p^2 \sim m_ekT$, si
ricava facilmente
\\
\\
$$\rho^{1/3}<< (\frac {\mu H}{Z})^{1/3} \frac{(m_ekT)^{1/2}}{h}$$
\\
\\
$\rho<< 10^{-10}T^{1/2}  gr/cm^3$
\\
\\
Ove ciò non si verifichi, si manifestano effetti quantistici ed
il gas di elettroni viene definito //quantisticamente
degenere//. E' immediato riconoscere come queste condizioni sulla
densità siano più stringenti di quelle per le interazioni
coulombiane. In effetti la degenerazione elettronica giocherà un
ruolo determinante in molte strutture stellari.


\\
\\

===== 3.2.3 Equazione di stato del plasma stellare =====


Se  alla pressione del gas aggiungiamo il contributo portato dalla
radiazione, ove non intervengano fenomeni di degenerazione
elettronica e risultino trascurabili le interazioni coulombiane,
otteniamo l'equazione di stato per il plasma stellare
\\
\\
$$P = \frac {k}{H} \rho T (\frac {1}{\mu_i} + \frac {1}{\mu_e}) + \frac {a}{3} T^4 $$
\\
\\
Gli  effetti della degenerazione elettronica sono di rendere il
gas di elettroni più incomprimibile di un gas perfetto. Gli
elettroni sono infatti //fermioni// (cioè particelle a spin
semintero) per i quali vale il [[wp.it>principio di esclusione di Pauli]] per il quale non più di due elettroni possono occupare un
identico stato energetico. Ne segue, ad esempio, che nel limite 
$T \rightarrow 0$ un gas di elettroni possiede energia e quantità
di moto, quest'ultima implicando una pressione non prevista dalla
trattazione classica.

Si può porre
\\
\\
$$P_e = P_e + P_{e,d}$$
\\
\\
ove  con $P_e$ e $P_{e,d}$ si indicano rispettivamente la pressione
di un gas perfetto di elettroni e il contributo della
digenerazione. $P_{e,d}$ può essere calcolato sulla base del
comportamento quantistico di un [[wp.it>Gas_di_Fermi|gas di Fermi]] (<tex>$\rightarrow A3.2$</tex>).
La Figura 3.2 mostra l'intervento della degenerazione
nel piano $\rho$, T, riportando in particolare la linea di
transizione lungo la quale $P_{e,d}=P_e$, come definita dalla
relazione
\\
\\
$$ \rho/\mu_e = n_e = 2.4 10^{-8}T^{3/2} cm^{-3}$$
\\
\\


{{:c03:figura_03_02.jpg?400}}
\\
** Figura 3.2 ** La linea del piano $log T$, $log \rho$ lungo
la quale la pressione di degenerazione eguaglia quella degli
elettroni liberi. La linea a tratti segnala l'instaurarsi di
degenerazione relativistica.

\\
\\

In caso di completa degenerazione ($P_{e,d}>> P_e$) la pressione
del gas è data dai soli elettroni degeneri ($P_e > P_i$),
dipendendo in tal caso solo dalla densità secondo la relazione
(c.g.s.)
\\
\\
$$P_g = P_e = 10.00~ 10^{12}(\rho/\mu_e)^{/3} $$
\\
\\
Per altissime densità ($\rho \ge 10^7$) la degenerazione spinge
gli elettroni in livelli energetici così alti che l'energia non è più trascurabile rispetto all'energia della massa a riposo ($m_ec^2$) rendendo necessaria una trattazione relativistica. 
In tal caso per la quantità di moto si avrà
\\
\\
$p_e =
m_ev/(1-v^2/c^2)^{1/2}$ ($\sim m_e v$ se $v<<c$)
\\
\\
e per la pressione si ha
\\
\\
$$P_g = P_e = 6.58 * 10^14 (\rho/\mu_e)^{4/3}$$
</WRAP>
\\
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\\
~~DISQUS~~