c02:a0201
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Linea 1: | Linea 1: | ||
+ | ====== A2.1 Energia interna, pressione della radiazione e pressione del gas perfetto ====== | ||
+ | Si è già indicato ($ \rightarrow A1.1$) come all' | ||
+ | una struttura stellare materia e radiazione siano ambedue da | ||
+ | considerarsi termalizzate alla temperatura locale T. In tali | ||
+ | condizioni la densità e la distribuzione in frequenza dei fotoni | ||
+ | restano regolate dalle leggi del corpo nero, la //densità di | ||
+ | energia// risultando in particolare pari a $U = a T^4$. In tali | ||
+ | condizioni è anche facile ricavare il valore della //pressione di | ||
+ | radiazione//, | ||
+ | trasportato dai fotoni. | ||
+ | |||
+ | Immaginiamo la radiazione intrappolata all' | ||
+ | cubetto di volume unitario a superfici interne perfettamente | ||
+ | riflettenti. Un generico fotone di energia $E=h\nu$ e momento | ||
+ | $p=h\nu/c$ avrà una direzione di moto definita dai tre [[wp.it> | ||
+ | \\ | ||
+ | $$\frac {c_x}{c}, \frac {c_y}{c}, \frac {c_z}{c}$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | degli angoli formati dal vettore velocità $\overline c$ | ||
+ | con i tre assi delle coordinate. Nell' | ||
+ | avranno c< | ||
+ | (Figura 2.6) ed in ogni urto verrà scambiata una | ||
+ | quantità di moto pari in modulo a $2(h\nu/c) c_x/c$. La somma | ||
+ | (in modulo) dei momenti scambiati dal fotone con le 6 pareti del | ||
+ | cubetto nell' | ||
+ | \\ | ||
+ | $$2\frac {h\nu}{c} \frac {c_x}{c}+ 2\frac {h\nu}{c}\frac {c_y}{c}+ 2\frac {h\nu}{c} \frac {c_z}{c} = 2 \frac {h\nu}{c^2}(c_x^2+ c_y^2+ c_z^2) = 2 h\nu = 2E$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Se ne conclude che il gas di fotoni isotropi scambia | ||
+ | nell' | ||
+ | quantità di moto pari a | ||
+ | \\ | ||
+ | |||
+ | $$\Delta p = E/3$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | dove E è la somma delle energie dei singoli fotoni. | ||
+ | Poiché $\Delta p=F\Delta t$ si ricava che il gas di fotoni opera | ||
+ | sulla superficie unitaria una forza (la pressione) pari a | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_r = E/3$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Per una distribuzione di corpo nero si ricava cos\`i il | ||
+ | valore della pressione di radiazione | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_r = \frac {1}{3} U = \frac {a}{3} T^4$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Con considerazioni del tutto analoghe si ricava per un [[wp.it> | ||
+ | non relativistico | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_g = \frac {1}{3} \Sigma m_iv_i^2 = \frac {2}{3} W$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | {{: | ||
+ | \\ | ||
+ | **Figura 2.6** Nell' | ||
+ | fotone di impulso < | ||
+ | impulso pari a | ||
+ | |||
+ | $$\frac{2 h \nu}{c}{cos \theta} = | ||
+ | \frac{2 h \nu}{c} {\frac{c_x}{c}}$$ | ||
+ | |||
+ | dove $W=\Sigma \frac {1}{2} m_iv_i^2$ | ||
+ | rappresenta la densità di energia cinetica. Poiché l' | ||
+ | per molecola è pari a | ||
+ | $3/2 kT, \Sigma\frac{1}{2} m_i v_i^2 = nkT$ dove n rappresenta il numero di particelle per | ||
+ | unità di volume. Si ritrova così l' | ||
+ | perfetto | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_g = nkT$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | Per un gas perfetto monoatomico $W=U=3/2 kT$. Nel caso più | ||
+ | generale $U=N/2 kT$, dove N è il numero di gradi di libertà | ||
+ | delle particelle, e si ricava facilmente | ||
+ | \\ | ||
+ | $$P_g = \frac {2}{N} U$$ | ||
+ | \\ | ||
+ | che, in analogia di quanto già visto per la | ||
+ | radiazione, pone in relazione la pressione con l' | ||
+ | per unità di volume. | ||
+ | \\ | ||
+ | ---- | ||
+ | ~~DISQUS~~ |