c02:a0201
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== A2.1 Energia interna, pressione della radiazione e pressione del gas perfetto ====== | ====== A2.1 Energia interna, pressione della radiazione e pressione del gas perfetto ====== | ||
- | Si è già indicato (<tex>$ \rightarrow A1.1$</ | + | Si è già indicato ($ \rightarrow A1.1$) come all' |
una struttura stellare materia e radiazione siano ambedue da | una struttura stellare materia e radiazione siano ambedue da | ||
considerarsi termalizzate alla temperatura locale T. In tali | considerarsi termalizzate alla temperatura locale T. In tali | ||
condizioni la densità e la distribuzione in frequenza dei fotoni | condizioni la densità e la distribuzione in frequenza dei fotoni | ||
restano regolate dalle leggi del corpo nero, la //densità di | restano regolate dalle leggi del corpo nero, la //densità di | ||
- | energia// risultando in particolare pari a <tex>$U = a T^4$</ | + | energia// risultando in particolare pari a $U = a T^4$. In tali |
condizioni è anche facile ricavare il valore della //pressione di | condizioni è anche facile ricavare il valore della //pressione di | ||
radiazione//, | radiazione//, | ||
Linea 13: | Linea 13: | ||
Immaginiamo la radiazione intrappolata all' | Immaginiamo la radiazione intrappolata all' | ||
cubetto di volume unitario a superfici interne perfettamente | cubetto di volume unitario a superfici interne perfettamente | ||
- | riflettenti. Un generico fotone di energia | + | riflettenti. Un generico fotone di energia $E=h\nu$ e momento |
- | <tex>$p=h\nu/c$</ | + | $p=h\nu/c$ avrà una direzione di moto definita dai tre [[wp.it> |
\\ | \\ | ||
+ | $$\frac {c_x}{c}, \frac {c_y}{c}, \frac {c_z}{c}$$ | ||
\\ | \\ | ||
- | < | + | degli angoli formati dal vettore velocità $\overline c$ |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | degli angoli formati dal vettore velocità | + | |
con i tre assi delle coordinate. Nell' | con i tre assi delle coordinate. Nell' | ||
avranno c< | avranno c< | ||
(Figura 2.6) ed in ogni urto verrà scambiata una | (Figura 2.6) ed in ogni urto verrà scambiata una | ||
- | quantità di moto pari in modulo a <tex>$2(h\nu/c) c_x/c$</ | + | quantità di moto pari in modulo a $2(h\nu/c) c_x/c$. La somma |
(in modulo) dei momenti scambiati dal fotone con le 6 pareti del | (in modulo) dei momenti scambiati dal fotone con le 6 pareti del | ||
cubetto nell' | cubetto nell' | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$2\frac {h\nu}{c} \frac {c_x}{c}+ 2\frac {h\nu}{c}\frac {c_y}{c}+ 2\frac {h\nu}{c} \frac {c_z}{c} = 2 \frac {h\nu}{c^2}(c_x^2+ c_y^2+ c_z^2) = 2 h\nu = 2E$$ | $$2\frac {h\nu}{c} \frac {c_x}{c}+ 2\frac {h\nu}{c}\frac {c_y}{c}+ 2\frac {h\nu}{c} \frac {c_z}{c} = 2 \frac {h\nu}{c^2}(c_x^2+ c_y^2+ c_z^2) = 2 h\nu = 2E$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Se ne conclude che il gas di fotoni isotropi scambia | Se ne conclude che il gas di fotoni isotropi scambia | ||
Linea 38: | Linea 32: | ||
quantità di moto pari a | quantità di moto pari a | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | |
- | <tex> | + | |
$$\Delta p = E/3$$ | $$\Delta p = E/3$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
dove E è la somma delle energie dei singoli fotoni. | dove E è la somma delle energie dei singoli fotoni. | ||
- | Poichè <tex>$\Delta p=F\Delta t$</ | + | Poiché |
sulla superficie unitaria una forza (la pressione) pari a | sulla superficie unitaria una forza (la pressione) pari a | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$P_r = E/3$$ | $$P_r = E/3$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Per una distribuzione di corpo nero si ricava cos\`i il | Per una distribuzione di corpo nero si ricava cos\`i il | ||
valore della pressione di radiazione | valore della pressione di radiazione | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$P_r = \frac {1}{3} U = \frac {a}{3} T^4$$ | $$P_r = \frac {1}{3} U = \frac {a}{3} T^4$$ | ||
- | </ | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | + | Con considerazioni del tutto analoghe si ricava per un [[wp.it>gas perfetto]] |
- | Con considerazioni del tutto analoghe si ricava per un gas perfetto | + | |
non relativistico | non relativistico | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$P_g = \frac {1}{3} \Sigma m_iv_i^2 = \frac {2}{3} W$$ | $$P_g = \frac {1}{3} \Sigma m_iv_i^2 = \frac {2}{3} W$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
{{: | {{: | ||
Linea 77: | Linea 56: | ||
fotone di impulso < | fotone di impulso < | ||
impulso pari a | impulso pari a | ||
- | < | + | |
- | + | $$\frac{2 h \nu}{c}{cos \theta} = | |
- | \frac{2 h \nu}{c}{cos \theta} = | + | \frac{2 h \nu}{c} {\frac{c_x}{c}}$$ |
- | \frac{2 h \nu}{c} {\frac{c_x}{c}} | + | |
- | </ | + | dove $W=\Sigma \frac {1}{2} m_iv_i^2$ |
- | \\ | + | rappresenta la densità di energia cinetica. |
- | \\ | + | |
- | dove <tex>$W=\Sigma \frac {1}{2} m_iv_i^2$</ | + | |
- | rappresenta la densità di energia cinetica. | + | |
per molecola è pari a | per molecola è pari a | ||
- | <tex>$3/2 kT, \Sigma\frac{1}{2} m_i v_i^2 = nkT$</ | + | $3/2 kT, \Sigma\frac{1}{2} m_i v_i^2 = nkT$ dove n rappresenta il numero di particelle per |
unità di volume. Si ritrova così l' | unità di volume. Si ritrova così l' | ||
perfetto | perfetto | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$P_g = nkT$$ | $$P_g = nkT$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
- | Per un gas perfetto monoatomico | + | Per un gas perfetto monoatomico |
- | generale | + | generale |
delle particelle, e si ricava facilmente | delle particelle, e si ricava facilmente | ||
\\ | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <tex> | ||
$$P_g = \frac {2}{N} U$$ | $$P_g = \frac {2}{N} U$$ | ||
- | </ | ||
- | \\ | ||
\\ | \\ | ||
che, in analogia di quanto già visto per la | che, in analogia di quanto già visto per la | ||
radiazione, pone in relazione la pressione con l' | radiazione, pone in relazione la pressione con l' | ||
per unità di volume. | per unità di volume. | ||
- | \\ | ||
- | \\ | ||
- | <fbl> | ||
- | \\ | ||
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~~DISQUS~~ | ~~DISQUS~~ |
c02/a0201.1285144112.txt · Ultima modifica: 14/06/2021 14:05 (modifica esterna)